1. Покажите, что плоскость АВС параллельна плоскости А1В1С1, если точка О является общей серединой отрезков АА1

Kristalnaya_Lisica

33

1. Для того чтобы показать, что плоскость АВС параллельна плоскости А1В1С1, исследуем геометрические свойства данной конструкции.
Предположим, что плоскости АВС и А1В1С1 не параллельны. Так как точка О является общей серединой отрезков АА1, ВВ1 и СС1, которые не лежат в одной плоскости, можно сделать следующие выводы:
- Точка О лежит на плоскости АВС, так как О является серединой отрезка АА1 и перпендикулярно лежит в этой плоскости.
- Точка О также лежит на плоскости А1В1С1, так как О является серединой отрезка ВВ1 и перпендикулярно лежит в этой плоскости.
Таким образом, точка О лежит и на плоскости АВС, и на плоскости А1В1С1.
Если плоскости АВС и А1В1С1 не параллельны, то они должны иметь общую прямую через точку О. Но, согласно условию задачи, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 не лежат в одной плоскости, значит, они не могут образовывать общую прямую в плоскостях АВС и А1В1С1.
Из этого следует, что плоскость АВС параллельна плоскости А1В1С1.

2. Для того чтобы показать, что возможно провести параллельные плоскости через две пересекающиеся прямые, рассмотрим следующую схему.
Допустим, у нас есть две прямые, пересекающиеся в точке О. Построим на этих прямых вторую пару прямых, параллельных первым, и проведем их таким образом, чтобы они также пересекались в точке О.
Теперь мы имеем две параллельные прямые, одна из которых пересекает первую параллельную плоскость, а вторая пересекает вторую параллельную плоскость.
Следовательно, мы можем провести параллельные плоскости через две пересекающиеся прямые.

3. Для доказательства того, что если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она также пересекает и вторую плоскость, обратимся к следующим рассуждениям.
Предположим, что у нас есть две параллельные плоскости и прямая, которая пересекает одну из этих плоскостей.
Поскольку первая плоскость параллельна второй, любая прямая, пересекающая первую плоскость, не будет пересекать вторую плоскость.
Однако, в данном случае мы имеем противоречие с условием, что прямая пересекает одну из параллельных плоскостей.
Значит, наше предположение неверно, и прямая, пересекающая одну из параллельных плоскостей, также пересекает и вторую плоскость.