1. Покажите, что все грузы достигнут окружности одновременно, если они начинают скользить без трения из точки, лежащей

Осень

7

Задача 1:

Для решения этой задачи, воспользуемся разложением грузов на горизонтальную и вертикальную составляющие. Пусть каждый груз начинает скользить в некоторый момент времени t = 0. Обозначим массы грузов через m1, m2, m3 и т.д. В момент времени t, каждый груз будет иметь ускорение, направленное вдоль соответствующего желоба. Поскольку все грузы достигают окружности одновременно, значит, их перемещения и скорости должны быть одинаковыми.

Рассмотрим первый груз, который начинает движение из точки на верхнем конце вертикального диаметра окружности. Обозначим его массу как m1. Для первого груза, ускорение будет направлено вниз по желобу. Так как груз скользит без трения, то сила трения равна нулю. Уравнение второго закона Ньютона для первого груза имеет вид:

m1 * a1 = m1 * g - T1,

где a1 - ускорение первого груза, g - ускорение свободного падения, T1 - сила натяжения желоба на первом грузе.

По аналогии, для каждого следующего груза i, уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид:

mi * ai = mi * g - Ti,

где ai - ускорение i-го груза, mi - масса i-го груза, Ti - сила натяжения желоба на i-м грузе.

Заметим, что для каждого груза сила натяжения равна силе натяжения на предыдущем грузе (T1 = T2 = T3 = ... = T). Также, ускорения всех грузов равны друг другу (a1 = a2 = a3 = ... = a). Таким образом, уравнения можно переписать следующим образом:

m1 * a = m1 * g - T,
m2 * a = m2 * g - T,
m3 * a = m3 * g - T,
...

Сложим все эти уравнения, чтобы получить уравнение для суммарного ускорения грузов:

(m1 + m2 + m3 + ...) * a = (m1 + m2 + m3 + ...) * g - (n * T),

где n - количество грузов.

Так как сумма масс грузов равна общей массе системы (m1 + m2 + m3 + ... = M), и сила натяжения на все грузы равна силе натяжения на первый груз (n * T = M * a), то уравнение можно записать в следующем виде:

M * a = M * g - M * a,

или

2M * a = M * g.

Из этого следует, что ускорение a равно половине ускорения свободного падения g:

a = g/2.

Таким образом, все грузы достигнут окружности одновременно, если они начинают скользить без трения из точки, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра некоторой окружности по желобам, установленным вдоль различных хорд этой окружности.

Задача 2:

Для определения ускорения вектора w частицы, нам дано, что радиус-вектор r изменяется со временем по закону:

r = a * sin(wt) + b * cos(wt),

где a и b - постоянные векторы, причем a перпендикулярен b, а w - положительная постоянная.

Чтобы найти ускорение, сначала найдем скорость, используя производную радиус-вектора по времени:

v = dr/dt = a * w * cos(wt) - b * w * sin(wt).

Затем найдем ускорение, снова взяв производную скорости по времени:

a = dv/dt = -a * w^2 * sin(wt) - b * w^2 * cos(wt).

Таким образом, ускорение вектора w частицы представляет собой выражение:

a = -a * w^2 * sin(wt) - b * w^2 * cos(wt).

Именно таким образом меняется ускорение вектора w в зависимости от времени.