1. Посчитайте длину медианы, проведенной из вершины р треугольника hpm, учитывая координаты точек m, p, h (1; 11

Lev

44

1. Для вычисления длины медианы, проведенной из вершины р треугольника \(hpm\), нам необходимо вычислить координаты точки, в которую медиана пересекает сторону треугольника, соединяющую вершины \(m\) и \(p\). Пусть эта точка называется \(q\).

Для того чтобы найти координаты точки \(q\), мы можем использовать свойство медианы, которое гласит, что медиана делит сторону треугольника на две равные части. Таким образом, сумма координат точек \(m\), \(p\) и \(q\) будет равна нулю.

Координаты точки \(q\) можно найти с помощью следующих формул:
\[x_q = \frac{{x_m + x_p}}{2}\]
\[y_q = \frac{{y_m + y_p}}{2}\]

Подставим значения:
\[x_q = \frac{{1 + 8}}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\]
\[y_q = \frac{{11 + 2}}{2} = \frac{13}{2} = 6.5\]

Теперь, когда у нас есть координаты точки \(q\) (4.5; 6.5), мы можем вычислить длину медианы. Для этого используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставим значения:
\[d = \sqrt{{(4.5 - 1)^2 + (6.5 - 11)^2}} = \sqrt{{3.5^2 + (-4.5)^2}} = \sqrt{{12.25 + 20.25}} = \sqrt{{32.5}} \approx 5.70\]

Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины \(р\), составляет примерно 5.70 единицы.

2. Чтобы определить, принадлежит ли точка \(а\) (\(1\), \(\sqrt{3}\)) окружности с центром \((2, 0)\) и радиусом \(2\), мы должны проверить, находится ли эта точка на расстоянии, меньшем или равном радиусу окружности.

Расстояние между центром окружности \((x_1, y_1)\) и точкой \((x_2, y_2)\) можно вычислить с помощью формулы:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставим значения:
\[d = \sqrt{{(1-2)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2}} = \sqrt{{-1^2 + \sqrt{3}^2}} = \sqrt{{1 + 3}} = \sqrt{{4}} = 2\]

Так как расстояние между точкой \(а\) и центром окружности составляет 2 единицы, что равно радиусу окружности, можем сделать вывод, что точка \(а\) принадлежит этой окружности.

3. Для доказательства того, что параллелограмм \(abcd\), с вершинами \(а(4, 1)\), \(в(0, 4)\), \(с(-3, 0)\) и \(d(1, -3)\), является квадратом, нам необходимо показать, что все его стороны равны и углы между этими сторонами прямые.

Вычислим длины сторон параллелограмма \(abcd\) и углы между ними:

1) Длина стороны \(ab\):
\[d_{ab} = \sqrt{{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}}\]
\[d_{ab} = \sqrt{{(0-4)^2 + (4-1)^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + 3^2}} = \sqrt{{16 + 9}} = \sqrt{{25}} = 5\]

2) Длина стороны \(bc\):
\[d_{bc} = \sqrt{{(x_c - x_b)^2 + (y_c - y_b)^2}}\]
\[d_{bc} = \sqrt{{(-3-0)^2 + (0-4)^2}} = \sqrt{{(-3)^2 + (-4)^2}} = \sqrt{{9 + 16}} = \sqrt{{25}} = 5\]

3) Длина стороны \(cd\):
\[d_{cd} = \sqrt{{(x_d - x_c)^2 + (y_d - y_c)^2}}\]
\[d_{cd} = \sqrt{{(1-(-3))^2 + (-3-0)^2}} = \sqrt{{(1+3)^2 + (-3)^2}} = \sqrt{{4^2 + 9}} = \sqrt{{16 + 9}} = \sqrt{{25}} = 5\]

4) Длина стороны \(da\):
\[d_{da} = \sqrt{{(x_a - x_d)^2 + (y_a - y_d)^2}}\]
\[d_{da} = \sqrt{{(4-1)^2 + (1-(-3))^2}} = \sqrt{{(4-1)^2 + (1+3)^2}} = \sqrt{{3^2 + 4^2}} = \sqrt{{9 + 16}} = \sqrt{{25}} = 5\]

Теперь вычислим углы между сторонами:

Угол \(\angle abc\):
\[\cos(\angle abc) = \frac{{(x_b - x_a) \cdot (x_c - x_b) + (y_b - y_a) \cdot (y_c - y_b)}}{{d_{ab} \cdot d_{bc}}}\]
\[\cos(\angle abc) = \frac{{(0-4) \cdot (-3-0) + (4-1) \cdot (0-4)}}{{5 \cdot 5}} = \frac{{(-4) \cdot (-3) + 3 \cdot (-4)}}{{25}} = \frac{{12 - 12}}{{25}} = \frac{{0}}{{25}} = 0\]

Угол \(\angle bcd\):
\[\cos(\angle bcd) = \frac{{(x_c - x_b) \cdot (x_d - x_c) + (y_c - y_b) \cdot (y_d - y_c)}}{{d_{bc} \cdot d_{cd}}}\]
\[\cos(\angle bcd) = \frac{{(-3-0) \cdot (1-(-3)) + (0-4) \cdot (-3-0)}}{{5 \cdot 5}} = \frac{{(-3) \cdot (1+3) + (-4) \cdot (-3)}}{{25}} = \frac{{(-3) \cdot 4 + (-4) \cdot (-3)}}{{25}} = \frac{{-12 + 12}}{{25}} = \frac{{0}}{{25}} = 0\]

Угол \(\angle cda\):
\[\cos(\angle cda) = \frac{{(x_d - x_c) \cdot (x_a - x_d) + (y_d - y_c) \cdot (y_a - y_d)}}{{d_{cd} \cdot d_{da}}}\]
\[\cos(\angle cda) = \frac{{(1-(-3)) \cdot (4-1) + (-3-0) \cdot (1-(-3))}}{{5 \cdot 5}} = \frac{{(1+3) \cdot (4-1) + (-3) \cdot (1+3)}}{{25}} = \frac{{4 \cdot 3 + (-3) \cdot 4}}{{25}} = \frac{{12 - 12}}{{25}} = \frac{{0}}{{25}} = 0\]

Угол \(\angle dab\):
\[\cos(\angle dab) = \frac{{(x_a - x_d) \cdot (x_b - x_a) + (y_a - y_d) \cdot (y_b - y_a)}}{{d_{da} \cdot d_{ab}}}\]
\[\cos(\angle dab) = \frac{{(4-1) \cdot (0-4) + (1-(-3)) \cdot (4-1)}}{{5 \cdot 5}} = \frac{{3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3}}{{25}} = \frac{{-12 + 12}}{{25}} = \frac{{0}}{{25}} = 0\]

Таким образом, все стороны параллелограмма \(abcd\) равны 5 единиц, и углы между сторонами прямые (\(\cos(\angle abc) = \cos(\angle bcd) = \cos(\angle cda) = \cos(\angle dab) = 0\)). Следовательно, параллелограмм \(abcd\) является квадратом.