1. Постройте диаграмму функции f(x) = x^2 + 8x + 5 и найдите на ней: а) корни функции; б) интервалы, на которых f(x

Золотой_Вихрь

53

Конечно! Давайте начнем с задачи номер 1.

1. Построим график функции \(f(x) = x^2 + 8x + 5\).
Для начала построим диаграмму вершинных точек (Xv, Yv) функции \(f(x)\).
Формула для нахождения Xv: \(Xv = -\frac{b}{2a}\) (где a, b и c - это коэффициенты квадратного трехчлена).

В нашем случае:
a = 1, b = 8, c = 5

Рассчитаем Xv:
\(Xv = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4\)

Теперь рассчитаем Yv, подставив Xv в функцию \(f(x)\):
\(Yv = f(-4) = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11\)

Таким образом, вершина графика находится в точке (-4, -11).

Теперь найдем корни функции \(f(x)\), то есть значения x, при которых функция равна нулю.
Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)

Рассчитаем дискриминант:
\(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 64 - 20 = 44\)

Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае дискриминант больше нуля, поэтому имеются два корня.

Рассчитаем значение корней:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{44}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{44}}{2 \cdot 1}\)

\(x_1 \approx -0.1716\), \(x_2 \approx -7.8284\)

Таким образом, корни функции \(f(x)\) равны примерно -0.1716 и -7.8284.

Теперь найдем интервалы, на которых функция \(f(x)\) положительна и отрицательна.
Для этого проанализируем знак функции в различных интервалах.

Мы уже знаем, что функция имеет вершину в точке (-4, -11).
Посмотрим, как меняется знак функции до и после вершины.

Между корнями -7.8284 и -0.1716 функция \(f(x)\) отрицательна, так как \(f(x) < 0\).
За пределами этих корней функция \(f(x)\) положительна, так как \(f(x) > 0\).

Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции.
Для этого проанализируем производную функции \(f"(x)\).

Вычисляем производную:
\(f"(x) = 2x + 8\)

Функция \(f(x)\) возрастает, когда \(f"(x) > 0\).
Решаем неравенство:
\(2x + 8 > 0\)
\(x > -4\)

Функция \(f(x)\) убывает, когда \(f"(x) < 0\).
Решаем неравенство:
\(2x + 8 < 0\)
\(x < -4\)

Таким образом, функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-4, +\infty)\) и убывает на интервале \((-\infty, -4)\).

Чтобы найти минимальное значение функции \(f(x)\), мы должны рассмотреть вершину. Мы уже нашли вершину в предыдущих вычислениях: (-4, -11).
Таким образом, минимальное значение функции \(f(x)\) равно -11.

2. Функция \(f(x) = -x^2 + 6x + 2\) имеет определение везде, ибо это квадратичная функция и ее определение не ограничено.
Для нахождения значений функции в ее области определения просто подставим различные значения x в функцию и рассчитаем соответствующие значения f(x).

Например:
\(f(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 + 2 = 2\)
\(f(1) = -1^2 + 6 \cdot 1 + 2 = 7\)
\(f(2) = -2^2 + 6 \cdot 2 + 2 = 6\)
и так далее...

Таким образом, значения функции \(f(x)\) в ее области определения могут быть различными.

3. Чтобы найти точки пересечения параболы \(y = \frac{1}{5}\) и прямой \(y = 20 - 3x\), мы должны приравнять уравнения этих двух кривых и решить полученное уравнение для x.

Поставим уравнения в соответствие:
\(\frac{1}{5} = 20 - 3x\)

Решаем уравнение:
\(\frac{1}{5} = 20 - 3x\)
\(3x = 20 - \frac{1}{5}\)
\(3x = \frac{99}{5}\)
\(x = \frac{99}{15}\)
\(x = \frac{33}{5}\)

Теперь найдем координаты точек пересечения, подставив найденное значение x в одно из уравнений:
\(y = \frac{1}{5}\)
\(y = 20 - 3 \cdot \frac{33}{5}\)
\(y = \frac{100}{5} - \frac{99}{5}\)
\(y = \frac{1}{5}\)

Таким образом, координаты точки пересечения параболы \(y = \frac{1}{5}\) и прямой \(y = 20 - 3x\) равны \(\left(\frac{33}{5}, \frac{1}{5}\right)\).

4. Для построения графика функции \(f(x) = 3 - (x-1)^2\) с использованием шаблона параболы \(y = x^2\), мы можем использовать следующий алгоритм:

Шаг 1: Нарисуйте шаблон параболы \(y = x^2\), чтобы определить его форму и направление.

Шаг 2: Сместите параболу вправо на 1 единицу, чтобы получить \(y = (x - 1)^2\).

Шаг 3: Отразите параболу относительно оси OX и сместите вверх на 3 единицы, чтобы получить \(y = -(x - 1)^2 + 3\).

Шаг 4: Постройте каждую точку на графике, используя таблицу значений x и соответствующих им значений f(x).

Шаг 5: Соедините все точки, чтобы получить график функции \(f(x) = 3 - (x-1)^2\).

5. Пожалуйста, предоставьте полный текст задания для пятого вопроса, чтобы я мог дать вам ответ.