1°. Постройте отрезок, симметричный отрезку АВ относительно начала координат, и определите координаты его конечных

Mark_5990

24

1. Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку \(AB\) относительно начала координат, мы можем использовать следующий подход: сначала найдем симметричную точку \(A"\) для точки \(A\) относительно начала координат, затем найдем симметричную точку \(B"\) для точки \(B\) относительно начала координат. Координаты конечных точек симметричного отрезка будут \((x_{A"}, y_{A"})\) и \((x_{B"}, y_{B"})\).

Чтобы найти симметричную точку для точки \(A\), мы меняем знаки ее координат: \(x_{A"} = -x_A\) и \(y_{A"} = -y_A\).

То же самое делаем для точки \(B\): \(x_{B"} = -x_B\) и \(y_{B"} = -y_B\).

Таким образом, координаты конечных точек симметричного отрезка будут \((-x_A, -y_A)\) и \((-x_B, -y_B)\).

2. Чтобы определить, существует ли параллельный перенос, который переводит точку \(B\) в точку \(C\) и точку \(A\) в точку \(B_1\), мы можем сравнить векторы смещений. Если вектор смещения от точки \(A\) до \(B\) совпадает с вектором смещения от точки \(B_1\) до \(C\), то существует такой параллельный перенос.

3. Если существует параллельный перенос, зададим его формулы. Пусть \((x, y)\) - координаты точки, которую мы хотим перевести при помощи параллельного переноса. Тогда формулы параллельного переноса будут:

\(x" = x + \Delta x\)

\(y" = y + \Delta y\)

где \(\Delta x\) и \(\Delta y\) - разность координат смещения, найденная из векторов смещения.

4. Чтобы доказать, что направления полупрямых \(AB\) и \(A1B1\) противоположны, мы можем взять два вектора, один направленный от точки \(A\) к точке \(B\), а другой - от точки \(A_1\) к точке \(B_1\), и показать, что они имеют противоположные направления.

Вектор, направленный от точки \(A\) к точке \(B\), может быть найден как \(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\).

Вектор, направленный от точки \(A_1\) к точке \(B_1\), может быть найден как \(\vec{A_1B_1} = (x_{B_1} - x_{A_1}, y_{B_1} - y_{A_1})\).

Если эти два вектора имеют противоположные направления, то они будут пропорциональны с отношением -1, то есть \(\vec{AB} = -\vec{A_1B_1}\).

5. Чтобы доказать, что четырехугольник \(ABAB_1\) является параллелограммом, мы можем проверить, что противоположные стороны параллельны и равны, а также что противоположные углы равны.

Противоположные стороны параллелограмма \(ABAB_1\) являются отрезками \(AB\) и \(A_1B_1\). Если мы докажем, что эти отрезки параллельны и равны, то мы сможем заключить, что четырехугольник является параллелограммом.

Мы уже доказали в пункте 4, что направления полупрямых \(AB\) и \(A_1B_1\) противоположны. Значит, отрезки \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны.

Для доказательства равенства сторон отрезков, мы должны показать, что их длины равны:

\(|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)

\(|A_1B_1| = \sqrt{(x_{B_1} - x_{A_1})^2 + (y_{B_1} - y_{A_1})^2}\)

Если эти два выражения равны, то стороны отрезков \(AB\) и \(A_1B_1\) будут равны.

Если и параллельность, и равенство сторон подтверждаются, то мы можем сделать вывод, что четырехугольник \(ABAB_1\) является параллелограммом.