Если значение параметра к равно, векторы а i+j+2k и b k i-j+4k ортогональны друг другу?

Tigressa

69

Для того чтобы определить, ортогональны ли векторы \( \mathbf{a} = i+j+2k \) и \( \mathbf{b} = k i - j + 4k \), будем использовать определение ортогональности векторов.

Два вектора \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) называются ортогональными друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение определяется следующим образом:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

где \(a_1, a_2, a_3\) - компоненты вектора \(\mathbf{a}\), а \(b_1, b_2, b_3\) - компоненты вектора \(\mathbf{b}\).

В данной задаче \(\mathbf{a} = i+j+2k\) и \(\mathbf{b} = k i - j + 4k\). Расставим компоненты векторов:

\[
\mathbf{a} = (1)i + (1)j + (2)k
\]
\[
\mathbf{b} = (0)i + (-1)j + (4)k
\]

Теперь посчитаем скалярное произведение:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(0) + (1)(-1) + (2)(4) = -1 + 8 = 7
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) не равно нулю (\(\neq 0\)), что означает, что эти векторы не ортогональны друг другу.