1. Пожалуйста, запишите каноническое уравнение для прямой AB, имеющей координаты точек A, B: A(-3;2;-4) B(-4;3;-7

Vulkan

63

1. Для нахождения канонического уравнения прямой AB, нам необходимо использовать точки A и B, которые даны координатами. Для уравнения прямой в трехмерном пространстве, мы можем использовать следующую формулу:

\[
\frac{{x - x_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{y - y_1}}{{y_2 - y_1}} = \frac{{z - z_1}}{{z_2 - z_1}}
\]

Где (x, y, z) - это произвольная точка на прямой AB, а (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек A и B соответственно. Подставим известные значения и упростим:

\[
\frac{{x - (-3)}}{{-4 - (-3)}} = \frac{{y - 2}}{{3 - 2}} = \frac{{z - (-4)}}{{-7 - (-4)}}
\]

\[
\frac{{x + 3}}{{-1}} = \frac{{y - 2}}{{1}} = \frac{{z + 4}}{{-3}}
\]

Таким образом, каноническое уравнение для прямой AB будет:

\[
x + 3 = -y + 2 = -3(z + 4)
\]

2. Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной прямой AB, мы можем использовать их нормальные векторы. Вектор, перпендикулярный прямой AB, будет параллелен векторному произведению её направляющей вектора и произвольного вектора на плоскости.

Направляющий вектор прямой AB можно получить, вычислив разность координат точек A и B:

\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -4-(-3) \\ 3-2 \\ -7-(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}
\]

Теперь мы можем найти вектор нормали плоскости, используя вектора прямой AB и произвольного вектора, например, \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\):

\[
\overrightarrow{normal} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}
\]

Таким образом, вектор нормали плоскости равен \(\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}\). Теперь, используя найденные значения, мы можем записать уравнение плоскости:

\[
0(x - (-1)) - 3(y - 1) - 1(z - 6) = 0
\]

\[
-3y + 3 - z + 6 = 0
\]

\[
-3y - z + 9 = 0
\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной прямой AB, будет:

\[
-3y - z + 9 = 0
\]

3. Для нахождения расстояния от точки C до прямой AB, мы можем использовать формулу, основанную на проекции вектора между точкой C и произвольной точкой на прямой AB на вектор нормали к прямой AB:

\[
d = \frac{{|\overrightarrow{C_pC}|}}{{|\overrightarrow{AB}|}}
\]

Где \(\overrightarrow{C_pC}\) - это вектор между проекцией точки C (\(C_p\)) на прямую AB и точкой C, а \(\overrightarrow{AB}\) - направляющий вектор прямой AB.

Начнем с нахождения проекции точки C на прямую AB. Для этого нам сначала нужно найти вектор, который идет от точки A до точки C:

\[
\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-(-3) \\ 0-2 \\ 3-(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}
\]

Теперь мы можем найти проекцию \(\overrightarrow{AC}\) на \(\overrightarrow{AB}\) путем использоавния векторного произведения:

\[
\overrightarrow{AC_p} = \frac{{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|^2}} \cdot \overrightarrow{AB}
\]

\[
\overrightarrow{AC_p} = \frac{{\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}}}{{|-1|^2 + 1^2 + |-3|^2}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{AC_p} = \frac{{(-8) + (-2) + (-21)}}{{11}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{AC_p} = \frac{{-31}}{{11}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{AC_p} = \begin{pmatrix} \frac{{31}}{{11}} \\ -\frac{{31}}{{11}} \\ \frac{{93}}{{11}} \end{pmatrix}
\]

Теперь можем найти вектор \(\overrightarrow{C_pC}\) как разность между вектором AC и его проекцией на AB:

\[
\overrightarrow{C_pC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC_p} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{{31}}{{11}} \\ -\frac{{31}}{{11}} \\ \frac{{93}}{{11}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{{9}}{{11}} \\ -\frac{{9}}{{11}} \\ \frac{{-26}}{{11}} \end{pmatrix}
\]

Теперь, с помощью найденных значений, мы можем вычислить расстояние d:

\[
d = \frac{{|\overrightarrow{C_pC}|}}{{|\overrightarrow{AB}|}} = \frac{{|\begin{pmatrix} \frac{{9}}{{11}} \\ -\frac{{9}}{{11}} \\ \frac{{-26}}{{11}} \end{pmatrix}|}}{{|\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}|}} = \frac{{\sqrt{\frac{{9^2}}{{11^2}} + \frac{{9^2}}{{11^2}} + \frac{{26^2}}{{11^2}}}}}{{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-3)^2}}}
\]

\[
d = \frac{{\sqrt{\frac{{81}}{{121}} + \frac{{81}}{{121}} + \frac{{676}}{{121}}}}}{{\sqrt{1 + 1 + 9}}}
\]

\[
d = \frac{{\sqrt{\frac{{838}}{{121}}}}}{{\sqrt{11}}}
\]

Таким образом, расстояние от точки C до прямой AB равно:

\[
d = \sqrt{\frac{{838}}{{121 \cdot 11}}}
\]

4. Чтобы найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), мы можем использовать его нормальный вектор, который может быть найден как векторное произведение двух векторов в плоскости.

Для начала найдем векторы, идущие от точки A до точек B и C:

\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -4-(-3) \\ 3-2 \\ -7-(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-(-3) \\ 0-2 \\ 3-(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}
\]

Теперь мы можем найти вектор нормали плоскости, используя векторное произведение этих двух векторов:

\[
\overrightarrow{normal} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{normal} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 7 - (-3) \cdot (-2) \\ (-1) \cdot 7 - (-3) \cdot 8 \\ (-1) \cdot (-2) - 1 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 17 \\ -6 \end{pmatrix}
\]

Таким образом, вектор нормали плоскости Q равен \(\begin{pmatrix} 13 \\ 17 \\ -6 \end{pmatrix}\). Теперь, используя найденные значения, мы можем записать уравнение плоскости:

\[
13(x - x_1) + 17(y - y_1) - 6(z - z_1) = 0
\]

\[
13(x - (-3)) + 17(y - 2) - 6(z - (-4)) = 0
\]

\[
13(x + 3) + 17(y - 2) - 6(z + 4) = 0
\]

Таким образом, уравнение плоскости Q, проходящей через точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3) будет:

\[
13(x + 3) + 17(y - 2) - 6(z + 4) = 0
\]