1) Пределите связь между координатой и временем для точки, движущейся прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону

Ветерок

37

Понимание связи между координатой и временем для точки, движущейся прямолинейно со скоростью, изменяющейся во времени, может быть получено через интегрирование скорости.

1а) Первоначально точка находится в начале координат (x = 0) в момент времени t = 0. Для определения координаты точки в момент времени t используем формулу:

\[x(t) = x_0 + \int_{0}^{t}v(\tau)d\tau\]

где x(t) - координата точки в момент времени t, x₀ - начальная координата точки. В данном случае x₀ = 0.

Подставим значение скорости v(t) = t + 3t^2:

\[x(t) = \int_{0}^{t}( \tau + 3\tau^2 )d\tau \]

Интегрируем:

\[x(t) = \left[ \frac{\tau^2}{2} + \tau^3 \right]_{0}^{t}\]

\[x(t) = \left( \frac{t^2}{2} + t^3 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0^3 \right)\]

Сокращая нулевые значения, получим:

\[x(t) = \frac{t^2}{2} + t^3\]

Таким образом, связь между координатой x и временем t для точки, движущейся прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t) = t + 3t^2, при условии, что точка находилась в начале координат в момент времени t = 0, задается формулой x(t) = \frac{t^2}{2} + t^3.

1б) Если координата точки равна 1, то значит x(t) = 1. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти момент времени t, соответствующий данной координате. Решим уравнение x(t) = 1 относительно t:

\[\frac{t^2}{2} + t^3 = 1\]

\[\frac{t^2}{2} + t^3 - 1 = 0\]

Это кубическое уравнение, которое можно попытаться решить аналитически, но для него нет тривиального аналитического решения. Мы можем использовать численные методы, чтобы найти приближенное значение t. Таким образом, мы должны использовать численные методы, например, метод половинного деления, для нахождения корня этого уравнения.

2) У нас есть скорость точки v = cosπt и информация о скорости в момент времени t = 2, равное 2. Для определения координаты точки в момент времени t = 1.5, нам нужно вычислить значение x в данном моменте времени.

Мы можем использовать аналогичный подход, связывающий координату и скорость:

\[x(t) = x_0 + \int_{0}^{t}v(\tau)d\tau\]

В данном случае скорость точки равна v = cosπt. Тогда:

\[x(t) = \int_{0}^{t}cos(\pi\tau)d\tau\]

Интегрируем:

\[x(t) = \left[ \frac{1}{\pi}sin(\pi\tau) \right]_{0}^{t}\]

\[x(t) = \frac{1}{\pi}sin(\pi t) - \frac{1}{\pi}sin(\pi\cdot0)\]

Учитывая, что sin(0) = 0, получим:

\[x(t) = \frac{1}{\pi}sin(\pi t)\]

Теперь, чтобы найти координату точки в момент времени t = 1.5, подставим t = 1.5 в полученную формулу:

\[x(1.5) = \frac{1}{\pi}sin(\pi \cdot 1.5)\]

\[x(1.5) = \frac{1}{\pi}sin(1.5\pi)\]

Таким образом, координата точки в момент времени t = 1.5 будет равна \(\frac{1}{\pi}sin(1.5\pi)\).

3) Здесь нам нужно найти массу куска стержня длиной x на неоднородном стержне длиной I.

Для нахождения массы куска стержня, мы должны знать плотность материала стержня и его длину. Обозначим плотность материала как ρ.

Масса куска стержня dM равна плотности материала умноженной на его длину. Таким образом,

\[dM = \rho \cdot dx\]

где dx - бесконечно малый элемент длины стержня.

Мы должны найти массу куска стержня длиной x, отсчитываемой от начала стержня. Для этого проинтегрируем дифференциальную массу по переменной x:

\[M = \int_{0}^{x}dM = \int_{0}^{x}\rho \cdot dx\]

\[M = \rho \int_{0}^{x}dx\]

\[M = \rho \cdot [x]_{0}^{I}\]

\[M = \rho \cdot (x - 0)\]

\[M = \rho \cdot x\]

Таким образом, масса куска стержня длиной x на неоднородном стержне длиной I равна \(M = \rho \cdot x\).