1. Просьба проверить, что на основе условия (1) для множеств a, b и c следует условие (2). Условие (1): Если a∩b⊆c

Solnechnyy_Smayl

48

1. Данное задание проверяет применение логических операций на множествах.

Для доказательства, что условие (1) влечет условие (2), необходимо использовать законы алгебры множеств. Давайте посмотрим на решение шаг за шагом:

Шаг 1: Пусть a, b и c - произвольные множества, такие что \(a \cap b \subseteq c\).

Шаг 2: Рассмотрим выражение \(a \setminus b\). Это обозначает, что мы берем все элементы, которые принадлежат множеству a и не принадлежат множеству b.

Шаг 3: Аналогично, выражение \(b \setminus a\) означает, что мы берем все элементы, которые принадлежат множеству b и не принадлежат множеству a.

Шаг 4: Теперь объединим результаты шагов 2 и 3, используя символ "u" для объединения множеств: \((a \setminus b) \cup (b \setminus a)\).

Шаг 5: Рассмотрим выражение \((a \cap b) \cup c\). Здесь мы берем все элементы, которые принадлежат одновременно множествам a и b, а также все элементы из множества c.

Шаг 6: Чтобы доказать, что условие (2) выполняется, мы должны показать, что выражение из шага 4 содержится в выражении из шага 5.

Шаг 7: Для доказательства шага 6, рассмотрим любой произвольный элемент x, принадлежащий \((a \setminus b) \cup (b \setminus a)\). Два случая возможны: либо x принадлежит \(a \setminus b\), либо x принадлежит \(b \setminus a\).

Шаг 7.1: Если x принадлежит \(a \setminus b\), то это означает, что x принадлежит a и не принадлежит b. Таким образом, x не может быть частью \(a \cap b\). Следовательно, x находится вне \((a \cap b) \cup c\).

Шаг 7.2: Если x принадлежит \(b \setminus a\), то это означает, что x принадлежит b и не принадлежит a. Как и в шаге 7.1, мы видим, что x не может быть частью \(a \cap b\), и следовательно, x находится вне \((a \cap b) \cup c\).

Шаг 8: Таким образом, мы видим, что любой произвольный элемент x, принадлежащий \((a \setminus b) \cup (b \setminus a)\), также принадлежит \((a \cap b) \cup c\). Это означает, что \((a \setminus b) \cup (b \setminus a) \subseteq (a \cap b) \cup c\).

Шаг 9: Таким образом, мы доказали, что если \(a \cap b \subseteq c\), то \((a \setminus b) \cup (b \setminus a) \subseteq (a \cap b) \cup c\), что является условием (2).

2. Данное задание проверяет равенство между двумя выражениями, включающими множества.

Рассмотрим равенство \(a \times (b \cup c) = (a \times b) \cup (a \times (c \setminus b))\). Давайте разберем это равенство по шагам:

Шаг 1: Пусть a, b и c - произвольные множества.

Шаг 2: Рассмотрим левую часть равенства \(a \times (b \cup c)\). Здесь мы применяем операцию объединения множеств (обозначается символом "\(\cup\)"), где мы берем все упорядоченные пары элементов a и элементов, принадлежащих множеству \(b \cup c\).

Шаг 3: Чтобы упростить \(b \cup c\), мы объединяем все элементы из множества b и все элементы из множества c, получая новое множество элементов \(b \cup c\).

Шаг 4: Таким образом, \(a \times (b \cup c)\) представляет собой все упорядоченные пары элементов a и элементов, принадлежащих \(b \cup c\).

Шаг 5: Теперь рассмотрим правую часть равенства \((a \times b) \cup (a \times (c \setminus b))\). Здесь, раздельно от левой части, мы выполняем операции на множествах, а именно произведение и разность.

Шаг 6: \(a \times b\) представляет собой все упорядоченные пары элементов a и элементов b.

Шаг 7: \(c \setminus b\) означает, что мы берем все элементы из множества c и исключаем из них все элементы, принадлежащие множеству b.

Шаг 8: \(a \times (c \setminus b)\) представляет собой все упорядоченные пары элементов a и элементов, принадлежащих \(c \setminus b\).

Шаг 9: Далее, мы объединяем результаты шагов 6 и 8 с помощью операции объединения множеств.

Шаг 10: Таким образом, \((a \times b) \cup (a \times (c \setminus b))\) представляет собой все упорядоченные пары элементов, принадлежащих \(a \times b\) и \(a \times (c \setminus b)\).

Шаг 11: Из шагов 4 и 10 мы видим, что левая и правая части равенства представляют собой одно и то же - все упорядоченные пары элементов a и определенных комбинаций элементов b и c.

Шаг 12: Таким образом, равенство \(a \times (b \cup c) = (a \times b) \cup (a \times (c \setminus b))\) верно для любых множеств a, b и c.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам лучше понять условия и равенства, представленные в задачах. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!