1. Расположите три точки в прямоугольной системе координат: P(4; 0; 0), K(0; 2; 0), T(2; 0; 4). а) Постройте

Романович

11

a) Чтобы построить точки P(4; 0; 0), K(0; 2; 0) и T(2; 0; 4) в трехмерной прямоугольной системе координат, нам нужно использовать оси x, y и z. Точка P имеет координаты (4, 0, 0) и находится на положительной оси x на расстоянии 4 единиц от начала координат. Точка K имеет координаты (0, 2, 0) и находится на положительной оси y на расстоянии 2 единиц от начала координат. Точка T имеет координаты (2, 0, 4) и находится внутри плоскости, образованной положительными осями x и z.

\[P(4; 0; 0), \quad K(0; 2; 0), \quad T(2; 0; 4)\]

b) Чтобы определить, на каких осях или плоскостях расположены данные точки, нужно рассмотреть их координаты.

Точка P(4; 0; 0) находится на оси x, так как y и z координаты равны 0.

Точка K(0; 2; 0) находится на оси y, так как x и z координаты равны 0.

Точка T(2; 0; 4) находится внутри плоскости, образованной положительными осями x и z. Это означает, что она лежит на прямой, параллельной оси y.

c) Чтобы доказать, что треугольник PKT является равнобедренным, нам нужно проверить, равны ли длины его сторон. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Расстояние между точками P и K можно вычислить следующим образом:

\[
d(PK) = \sqrt{(x_K - x_P)^2 + (y_K - y_P)^2 + (z_K - z_P)^2}
\]

Подставляя значения координат P(4; 0; 0) и K(0; 2; 0):

\[
d(PK) = \sqrt{(0 - 4)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4 + 0} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

Расстояние между точками P и T можно вычислить следующим образом:

\[
d(PT) = \sqrt{(x_T - x_P)^2 + (y_T - y_P)^2 + (z_T - z_P)^2}
\]

Подставляя значения координат P(4; 0; 0) и T(2; 0; 4):

\[
d(PT) = \sqrt{(2 - 4)^2 + (0 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

Мы видим, что оба расстояния \(d(PK)\) и \(d(PT)\) равны \(2\sqrt{5}\), что означает, что стороны треугольника PKT равны. Следовательно, треугольник PKT является равнобедренным.

d) Чтобы вычислить площадь треугольника PKT, мы можем использовать формулу площади геометрической фигуры, называемой треугольником Герона:

\[
S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}
\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Мы уже знаем, что стороны треугольника PKT равны и их длина равна \(2\sqrt{5}\).

Таким образом, \(a = b = c = 2\sqrt{5}\), и полупериметр \(p\) можно вычислить следующим образом:

\[
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{2} = \frac{6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}
\]

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника PKT:

\[
S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{3\sqrt{5}(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})}
\]

Сокращаем подобные выражения:

\[
S = \sqrt{3\sqrt{5} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = \sqrt{3\sqrt{5}}
\]

Таким образом, площадь треугольника PKT равна \(\sqrt{3\sqrt{5}}\).