1. Рассмотреть функцию на промежутки изменения монотонности и точек экстремума: f(x) = 8x - 5x^2. 2. Определить

Yabeda_1890

24

1. Рассмотрим функцию \(f(x) = 8x - 5x^2\) и найдем ее производную для исследования монотонности и экстремумов.

Сначала возьмем первую производную функции \(f"(x)\) для определения точек экстремума. Для этого продифференцируем функцию по переменной \(x\):
\[f"(x) = 8 - 10x\]

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует:
\[8 - 10x = 0\]
\[10x = 8\]
\[x = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\]

Таким образом, точка \(x = \frac{4}{5}\) является критической точкой функции \(f(x)\).

Затем проанализируем знак производной в интервалах, чтобы определить изменение монотонности функции.

Возьмем произвольную точку в каждом интервале и вычислим значение производной \(f"(x)\) в этой точке:
- При \(x < \frac{4}{5}\) возьмем \(x = 0\):
\(f"(0) = 8 - 10(0) = 8\). Знак положительный (+).
- При \(\frac{4}{5} < x\) возьмем \(x = 1\):
\(f"(1) = 8 - 10(1) = -2\). Знак отрицательный (-).

Из этого следует:
- В интервале \((-\infty, \frac{4}{5})\) функция \(f(x)\) возрастает.
- В интервале \((\frac{4}{5}, +\infty)\) функция \(f(x)\) убывает.

Теперь проанализируем точки экстремума:
- Точка \(x = \frac{4}{5}\) является локальным максимумом, так как функция возрастает до этой точки и убывает после нее.

Итак, функция \(f(x) = 8x - 5x^2\) возрастает на интервале \((-\infty, \frac{4}{5})\), убывает на интервале \((\frac{4}{5}, +\infty)\), и имеет локальный максимум в точке \(x = \frac{4}{5}\).

2. Теперь рассмотрим функцию \(f(x) = -x^3 + 3x^2\) и найдем ее производную для анализа убывания и максимальных точек.

Возьмем первую производную функции \(f"(x)\) для определения точек экстремума:
\[f"(x) = -3x^2 + 6x\]

Далее, найдем критические точки:
\[x(-3x^2 + 6x) = 0\]
\[x = 0\] - это одна критическая точка.

Проанализируем знак производной в интервалах:
- При \(x < 0\) возьмем, например, \(x = -1\):
\(f"(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9\). Знак отрицательный (-).
- При \(0 < x < 2\) возьмем, например, \(x = 1\):
\(f"(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3\). Знак положительный (+).
- При \(x > 2\) возьмем, например, \(x = 3\):
\(f"(3) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9\). Знак отрицательный (-).

Из этого следует:
- В интервале \((-\infty, 0)\) функция \(f(x)\) убывает.
- В интервале \((0, 2)\) функция \(f(x)\) возрастает.
- В интервале \((2, +\infty)\) функция \(f(x)\) убывает.

Теперь найдем максимальные точки. Поскольку функция является специальной функцией третьей степени, у нее может быть только одна максимальная точка.

Посмотрим на значения функции в критических точках и на концах интервалов:
- \(f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 = 0\)
- \(f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 = -8 + 3*4 = 4\)
- Рассмотрим также, что \(f(-\infty) = -\infty\) и \(f(+\infty) = -\infty\)

Итак, функция \(f(x) = -x^3 + 3x^2\) убывает на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((2, +\infty)\) и возрастает на интервале \((0, 2)\). Единственная максимальная точка на этом интервале расположена при \(x = 2\), где значение функции равно \(f(2) = 4\).