На сколько процентов уменьшится площадь и периметр прямоугольника, если его длина уменьшится на 30%, а ширина

Сердце_Огня_4208

42

Давайте решим задачу пошагово. У нас есть прямоугольник с неизвестным размером. Обозначим длину прямоугольника как \(l\) и ширину - как \(w\). Также у нас есть информация, что длина прямоугольника втрое больше его ширины, поэтому мы можем записать \(l = 3w\).

Теперь давайте найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины и ширины: \(S = lw\). Подставим значение \(l = 3w\) в эту формулу и получим \(S = 3w \cdot w = 3w^2\). Это значит, что площадь прямоугольника зависит от квадрата его ширины.

Теперь рассмотрим, как изменится площадь, если длина уменьшится на 30% и ширина уменьшится на 40%. Уменьшение на 30% означает, что новая длина будет равна \(l" = l - 0.3l\) (то есть длину умножаем на 0.7). Аналогично, уменьшение ширины на 40% приведет к новой ширине \(w" = w - 0.4w\) (ширину умножаем на 0.6).

Теперь подставим новые значения в формулу для площади и получим новую площадь \(S"\):
\[S" = (3w - 0.3l)(w - 0.4w) = (3w - 0.3 \cdot 3w)(w - 0.4w) = (2.1w)(0.6w) = 1.26w^2\]

Чтобы найти процентное уменьшение площади, мы можем сравнить новую и старую площади:
\[\text{Процентное уменьшение} = \frac{{S - S"}}{S} \cdot 100\%\]

Подставим значения площадей и вычислим процентное уменьшение:
\[\text{Процентное уменьшение} = \frac{{3w^2 - 1.26w^2}}{3w^2} \cdot 100\% = \frac{{1.74w^2}}{3w^2} \cdot 100\% = \frac{{1.74}}{3} \cdot 100\% \approx 58\%\]

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшится примерно на 58%.

Давайте теперь рассмотрим, как изменится периметр прямоугольника. Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон: \(P = 2l + 2w\). Подставим значение \(l = 3w\) в эту формулу и получим \(P = 2(3w) + 2w = 8w\).

Теперь рассмотрим, как изменится периметр, если длина и ширина уменьшатся. Уменьшение длины на 30% означает новую длину \(l" = l - 0.3l = 0.7l\), а уменьшение ширины на 40% - новую ширину \(w" = w - 0.4w = 0.6w\).

Подставим новые значения в формулу для периметра и получим новый периметр \(P"\):
\[P" = 2(0.7l) + 2(0.6w) = 1.4l + 1.2w\]

Чтобы найти процентное уменьшение периметра, сравним новый и старый периметры:
\[\text{Процентное уменьшение} = \frac{{P - P"}}{P} \cdot 100\%\]

Подставим значения периметров и вычислим процентное уменьшение:
\[\text{Процентное уменьшение} = \frac{{8w - (1.4l + 1.2w)}}{8w} \cdot 100\% = \frac{{6.8w - 1.4 \cdot 3w - 1.2w}}{8w} \cdot 100\% = \frac{{3.4w}}{8w} \cdot 100\% = \frac{{3.4}}{8} \cdot 100\% = 42.5\%\]

Таким образом, периметр прямоугольника уменьшится на 42.5%.