1) Rephrase the inequality: a) Solve the inequality: y > -x 2) Rephrase the inequality: b) Solve the inequality

Магический_Трюк

21

Хорошо, давайте решим эти задачи по одной и объясним каждый шаг.

1) Переформулируйте неравенство:

а) Инвертируем знак неравенства и получаем \(y < -x\).

Решим это неравенство:

Когда мы имеем знак "<" в неравенстве, мы знаем, что y должно быть меньше -x. Чтобы изобразить это графически, нарисуем график линии \(y = -x\). Заметим, что неравенство указывает на область, которая лежит выше этой линии.

2) Переформулируйте неравенство:

б) Получаем \(4x - 5y > 20\).

Решим это неравенство:

Для начала, перенесем все слагаемые на одну сторону и упростим:

\[4x - 5y - 20 > 0.\]

Теперь проанализируем коэффициенты для x и y. Коэффициент при x равен 4, а при y равен -5.

Область, в которой неравенство выполняется, определяется посредством наклона прямой, проходящей через точку (0, 0). Чтобы нарисовать эту прямую, возьмем две точки, например, (0, 0) и (1, -4), и проведем линию через них.

Теперь нам нужно определить, в какой части координатной плоскости лежат все точки, удовлетворяющие исходному неравенству. Для этого мы выбираем какую-то точку за пределами прямой и проверяем, выполняется ли неравенство. Например, возьмем точку (0, 0) и проверим:

\[4 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 20 > 0?\]

Упростим:

\[-20 > 0\]

Это неверно. То есть точка (0, 0) не принадлежит области, удовлетворяющей неравенству.

Следовательно, неравенство \(4x - 5y > 20\) определяет область, лежащую ниже прямой.

3) Переформулируйте неравенство:

с) Получаем \(2xy \leq 11\).

Решим это неравенство:

Начнем с переноса слагаемых:

\[2xy - 11 \leq 0.\]

Теперь посмотрим на признаки коэффициентов. У нас две переменные x и y, но их коэффициенты равны 2 и 1 соответственно.

Для определения области, где неравенство выполняется, нарисуем линию \(2xy - 11 = 0\), что эквивалентно \(y = \frac{{11}}{{2x}}\).

Затем выберем точку за пределами линии, например, (0, 0), и проверим условие:

\[2 \cdot 0 \cdot 0 - 11 \leq 0?\]

Получаем:

\[-11 \leq 0.\]

Это верно.

Таким образом, область, удовлетворяющая неравенству \(2xy \leq 11\), расположена ниже линии.

4) Переформулируйте неравенство:

d) Получаем \(x^2 + y^2 \geq 9\).

Решим это неравенство:

Мы имеем квадраты переменных x и y, а также знак неравенства "больше или равно". Это неравенство описывает все точки на или внутри окружности радиуса 3 и центра в начале координат.

5) Переформулируйте неравенство:

e) Получаем \(x^2 - 6x + y^2 + 2y + 13\).

Решим это неравенство:

Для начала упростим:

\[x^2 - 6x + y^2 + 2y + 13 > 0.\]

Теперь мы видим, что у нас есть квадратичные слагаемые в неравенстве. Чтобы определить область, в которой неравенство выполняется, можно воспользоваться графиком. Однако, для нахождения решений, мы можем также преобразовать это неравенство в уравнение и использовать свойства параболы.

Для преобразования неравенства в уравнение, поставим неравенство "равно" и решим уравнение \(x^2 - 6x + y^2 + 2y + 13 = 0\).

Очевидно, что это уравнение представляет собой параболу.

Таким образом, ответ на задачу переменной x и y будет представлять собой все точки за пределами этой параболы.