1) Сколько цифр A и цифр 0 встречается в записи значения выражения 7^2 + 49^4 - 21 в системе с основанием 14?

Магнитный_Магнат_5321

19

Давайте решим каждую задачу по очереди.

Задача 1:
Выражение \(7^2 + 49^4 - 21\) можно упростить следующим образом:
\(7^2 = 49\), поэтому \(49^4 = (7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8\).
Также у нас есть значение 21.
Теперь мы можем записать выражение в следующем виде: \(7^8 + 7^2 - 21\).
Давайте посчитаем его значение:

\[7^8 + 7^2 - 21 = 5764801 + 49 - 21 = 5764801 + 28 = 5764829.\]

Теперь мы должны найти количество цифр A и цифр 0 в этом числе. Давайте посчитаем это:

- Цифрой A является цифра 8. В выражении 5764829 она встречается один раз.
- Цифра 0 встречается два раза, поэтому их количество остаётся без изменений.

Таким образом, в записи значения выражения \(7^2 + 49^4 - 21\) в системе с основанием 14, количество цифр A равно 1, а количество цифр 0 равно 2.

Задача 2:
Выражение \(4^{1014} - 2x + 12\) может быть переписано следующим образом:
\(4^{1014}\) равно \(2^{2 \cdot 1014}\), так как \(4 = 2^2\).
Поэтому \(4^{1014} = 2^{2 \cdot 1014} = 2^{2028}\).

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное значение переменной x, при котором количество нулей в двоичной записи выражения \(2^{2028} - 2x + 12\) составляет ровно 2000.

Давайте разложим число \(2^{2028}\) на множители: \(2^{2028} = 2^{8 \cdot 253}\).
Также у нас есть значение 12.
Теперь мы можем записать выражение в следующем виде: \(2^{8 \cdot 253} - 2x + 12\).
Для удобства обозначим значение \(2^{8 \cdot 253}\) как \(M\), тогда у нас получится \(M - 2x + 12\).

Мы знаем, что количество нулей в двоичной записи числа равно количеству последовательных чисел 10 (единица и ноль) в двоичном представлении числа.

Чтобы количество нулей в выражении \(M - 2x + 12\) было равно 2000, нам нужно, чтобы число \(M\) содержало 2000 единиц. Давайте разобьем его на слагаемые: \(M = x \cdot 2^{2000} + y\), где \(x\) и \(y\) - это целые числа, а \(y\) содержит 2000 единиц.

Теперь мы можем записать выражение \(M - 2x + 12\) следующим образом: \(x \cdot 2^{2000} + y - 2x + 12\).

Чтобы количество нулей составляло ровно 2000, количество 2000 единиц в \(y\) должно быть скомпенсировано умножением на 2 раза. Это будет иметь место, если \(x\) равно 1000.

Итак, наименьшее натуральное значение переменной \(x\), при котором количество нулей в двоичной записи выражения \(4^{1014} - 2x + 12\) составляет ровно 2000, равно 1000.

Задача 3:
Выражение \(7^{103} + 6 \cdot 7^{104} - 3 \cdot 7^{57} + 98\) можно упростить следующим образом:
У нас есть значения \(7^{103}\), \(7^{104}\), \(7^{57}\) и 98.
Заметим, что 98 можно представить как \(7^2 \cdot 2\).

Теперь мы можем записать выражение в следующем виде: \(7^{103} + 6 \cdot 7^{104} - 3 \cdot 7^{57} + 7^2 \cdot 2\).
Давайте посчитаем его значение.

Значение \(7^{103} + 6 \cdot 7^{104} - 3 \cdot 7^{57} + 7^2 \cdot 2\) может быть переписано следующим образом:

\[7^{103} + 6 \cdot 7^{104} - 3 \cdot 7^{57} + 7^2 \cdot 2 = 7^{103} + 7^{103+1} - 7^{57+57} + 7^2 \cdot 2 =\]
\[= 7^{103} (1 + 7) - 7^{57} \cdot 7^{57} + 49 \cdot 2 =\]
\[= 8 \cdot 7^{103} - 49 \cdot 7^{57} + 98.\]

Теперь мы должны найти количество цифр 6 в этом числе. Давайте посчитаем это:

- Цифра 6 встречается в коэффициенте 8, поэтому в записи значения выражения \(7^{103} + 6 \cdot 7^{104} - 3 \cdot 7^{57} + 7^2 \cdot 2\) цифра 6 встречается один раз.

Таким образом, в записи значения выражения \(7^{103} + 6 \cdot 7^{104} - 3 \cdot 7^{57} + 7^2 \cdot 2\) в системе с основанием...