1. Сколько платьев жасмина должна сшить, чтобы получить максимальную прибыль, если она за день шьет x платьев

Lunya

26

Задача 1. Чтобы определить, сколько платьев Жасмина должна сшить, чтобы получить максимальную прибыль, мы можем использовать заданную квадратичную функцию прибыли \( p(x) = -x^2 + 20 \).

Для начала, найдем вершину этой функции, так как вершина является точкой максимума или минимума квадратичной функции.

Формула для нахождения координат вершины квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) выглядит следующим образом:
\[ x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} \]
\[ y_{\text{вершины}} = f(x_{\text{вершины}}) \]

Применяя эту формулу к нашей функции \( p(x) = -x^2 + 20 \), мы получим:
\[ x_{\text{вершины}} = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \]
\[ y_{\text{вершины}} = f(0) = -(0)^2 + 20 = 20 \]

Теперь мы знаем, что максимальная прибыль достигается при x = 0, то есть Жасмина не должна шить ни одного платья. Однако, чтобы получить абсолютное значение прибыли, мы можем подставить x в функцию прибыли:

\[ p(0) = -0^2 + 20 = 20 \]

Ответ: Чтобы получить максимальную прибыль, Жасмина должна не шить ни одного платья. Максимальная прибыль составляет 20 рублей.

Задача 2. Чтобы найти квадратичную функцию, соответствующую данной ситуации, нам необходимо найти уравнение вида \( p(x) = ax^2 + bx + c \).

Исходя из заданной информации, у нас уже есть значения коэффициентов: a = -1, b = 0 и c = 20.

Теперь мы можем исследовать эту функцию более подробно.

Дискриминант (d) функции определяется следующим образом:
\[ d = b^2 - 4ac \]

Подставляя значения коэффициентов, получаем:
\[ d = 0^2 - 4(-1)(20) = 0 + 80 = 80 \]

Так как дискриминант больше нуля, у функции два различных корня (нуля). Чтобы найти эти корни, мы можем использовать формулу:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a} \]

Подставляя значения коэффициентов, получаем:
\[ x_{1,2} = \frac{-0 \pm \sqrt{80}}{2(-1)} = \frac{\pm \sqrt{80}}{-2} = \frac{\pm 4\sqrt{5}}{-2} = \mp 2\sqrt{5} \]

Нули функции (места, где график пересекает ось x) равны \( x_1 = -2\sqrt{5} \) и \( x_2 = 2\sqrt{5} \).

Значение максимума и минимума функции можно найти подставив x-координату вершины в функцию прибыли:
\[ y_{\text{max}} = p(0) = -(0)^2 + 20 = 20 \]
\[ y_{\text{min}} = p(x_1) = -(-2\sqrt{5})^2 + 20 = -20 + 20 = 0 \]

Монотонность функции зависит от знака коэффициента \( a \). В данном случае \( a = -1 \), что означает, что функция является убывающей (негативно-конкавной). График функции будет иметь форму параболы, которая открывается вниз.

Ответ: Квадратичная функция, соответствующая данной ситуации, имеет вид \( p(x) = -x^2 + 20 \). Дискриминант функции равен 80. Вершина функции находится в точке (0, 20). Нули функции равняются \( x_1 = -2\sqrt{5} \) и \( x_2 = 2\sqrt{5} \). Максимальное значение прибыли равно 20 рублей, а минимальное - 0 рублей. Функция является убывающей и негативно-конкавной.

Задача 3. Наибольшая прибыль в рублях составляет 20 рублей.