1. Сколько раз можно выбрать три белых шара из пяти, если в ящике есть 8 белых, 5 красных и 6 синих шаров? 2. Сколько

Sverkayuschiy_Gnom

48

1. Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать комбинаторику. Мы должны выбрать три белых шара из пяти, при условии, что в ящике есть 8 белых, 5 красных и 6 синих шаров.

Чтобы решить задачу, мы можем применить комбинаторную формулу \(C(n, k)\), которая определяет количество способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов. В данном случае, \(n = 5\) (пять белых шаров) и \(k = 3\) (три шара, которые мы выбираем).

Формула для вычисления комбинации выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где символ "!" обозначает факториал числа.

Таким образом, для данной задачи:

\[C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3!2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 2 \cdot 1}} = 10\]

Таким образом, существует 10 различных способов выбрать три белых шара из пяти.

2. Чтобы решить эту задачу, мы должны определить, сколько способов выбрать пять шаров, чтобы как минимум три из них были цветными. В ящике имеется 8 белых, 5 красных и 6 синих шаров.

Для определения количества таких случаев, мы можем использовать принцип дополнения. Мы найдем общее количество способов выбрать пять шаров и вычтем количество способов выбрать пять шаров, где менее трех из них цветные.

Общее количество способов выбрать пять шаров из всех имеющихся (белых, красных и синих) определяется формулой:

\[C(19, 5) = \frac{{19!}}{{5!(19-5)!}} = \frac{{19!}}{{5!14!}} = 11628\]

Теперь мы должны найти количество способов выбрать пять шаров с менее чем тремя из них цветными. Так как у нас есть 8 белых шаров, максимальное количество небельних шаров (красных и синих) равно 2.

Способов выбрать 5 шаров с менее чем тремя цветными будет сумма следующих случаев:
- 5 белых шаров: \(C(8, 5) = \frac{{8!}}{{5!(8-5)!}} = \frac{{8!}}{{5!3!}} = 56\)
- 4 белых шара и 1 цветной шар (5 возможных сочетаний): \(C(8, 4) \cdot C(11, 1) = 70 \cdot 11 = 770\)
- 3 белых шара и 2 цветных шара (10 возможных сочетаний): \(C(8, 3) \cdot C(11, 2) = 56 \cdot 55 = 3080\)
- 2 белых шара и 3 цветных шара (10 возможных сочетаний): \(C(8, 2) \cdot C(11, 3) = 28 \cdot 165 = 4620\)

Таким образом, общее количество способов выбрать пять шаров с менее чем тремя цветными будет:

\(56 + 770 + 3080 + 4620 = 8486\)

Теперь мы можем применить принцип дополнения для получения количества способов выбрать пять шаров, чтобы как минимум три из них были цветными:

Общее количество способов выбрать пять цветных шаров = Общее количество способов выбрать пять шаров - Количество способов выбрать пять шаров с менее чем тремя цветными:

\(11628 - 8486 = 3142\)

Таким образом, существует 3142 различных случая, когда как минимум три из выбранных пяти шаров окажутся цветными.

3. Чтобы найти вероятность извлечения нужной фотокарточки из наудачу извлеченных трех фотокарточек, мы должны знать общее количество возможных исходов и количество исходов, которые соответствуют нашему требованию.

В данном случае у нас есть 7 фотокарточек в ящике, одна из которых разыскивается. Мы извлекаем наугад 3 карты.

Общее количество возможных исходов - это количество способов выбрать 3 карты из 7:

\[C(7, 3) = \frac{{7!}}{{3!(7-3)!}} = \frac{{7!}}{{3!4!}} = 35\]

Теперь мы должны определить количество исходов, которые компьютер нашел как нужные. Здесь у нас только одна нужная фотокарточка, так что мы специально извлекаем карту, а остальные две могут быть какие угодно.

Количество исходов, где найдена нужная фотокарточка, можно определить как количество способов выбрать 1 карту из 1 (нужная карточка) и количество способов выбрать 2 карты из 6 (6 оставшихся карт):

\[C(1, 1) \cdot C(6, 2) = \frac{{1!}}{{1!(1-1)!}} \cdot \frac{{6!}}{{2!(6-2)!}} = 1 \cdot 15 = 15\]

Таким образом, вероятность нахождения нужной фотокарточки равна:

\[\frac{{\text{Количество исходов, которые соответствуют нашим требованиям}}}{{\text{Общее количество возможных исходов}}} = \frac{{15}}{{35}} = \frac{{3}}{{7}} \approx 0.429\]