1. В 10 лампочек есть 3 бракованные. Если наудачу выбирают 3 лампочки, какова вероятность того, что среди них

Yachmen

53

1. Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику и вероятность. При условии, что в 10 лампочках есть 3 бракованные, всего у нас есть 7 исправных лампочек.

a) Для того чтобы выбрать 2 бракованные лампочки и 1 исправную, мы можем использовать сочетания без повторений. Формула для этого выглядит так:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
Где \(n\) - общее количество объектов (лампочек), а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем.
В нашем случае, всего лампочек \(n = 10\), бракованных лампочек \(k = 3\).
Подставляя значения в формулу, мы получаем:
\[C_{10}^3 = \frac{{10!}}{{3!(10-3)!}} = \frac{{10!}}{{3!7!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 120\]
Таким образом, у нас есть 120 комбинаций выбрать 2 бракованные лампочки и 1 исправную.

Теперь, для того чтобы найти вероятность, мы должны разделить количество благоприятных исходов (количество комбинаций) на общее количество возможных исходов (количество всех возможных комбинаций). Общее количество возможных комбинаций равно:
\[C_{10}^3 = 120\]

Соответственно,
Вероятность того, что среди выбранных лампочек будут 2 бракованные, равна \(\frac{{120}}{{C_{10}^3}}\).

b) Для того чтобы выбрать минимум 2 исправные лампочки из 3, у нас есть две возможные комбинации: 2 исправные и 1 бракованная, либо 3 исправные лампочки.

Количество комбинаций для 2 исправных и 1 бракованной лампочки вычисляется по формуле:
\[C_7^2 \cdot C_3^1 = \frac{{7!}}{{2!(7-2)!}} \cdot \frac{{3!}}{{1!(3-1)!}} = 21 \cdot 3 = 63\]

Количество комбинаций для 3 исправных лампочек равно 1 (только одна комбинация).

Общее количество комбинаций равно:
\[C_{10}^3 = 120\]

Таким образом, количество благоприятных исходов равно \(63 + 1 = 64\).

Вероятность того, что будет выбрано минимум 2 исправные лампочки, равна \(\frac{{64}}{{C_{10}^3}}\).

c) Для того чтобы выбрать только одну исправную лампочку из трех, у нас есть три возможные комбинации: исправная-бракованная-бракованная, бракованная-исправная-бракованная, бракованная-бракованная-исправная.

Количество комбинаций для каждой из этих трех ситуаций равно:
\[C_7^1 \cdot C_3^2 = \frac{{7!}}{{1!(7-1)!}} \cdot \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}} = 7 \cdot 3 = 21\]

Общее количество комбинаций равно:
\[C_{10}^3 = 120\]

Таким образом, количество благоприятных исходов равно \(21 \cdot 3 = 63\).

Вероятность того, что будет выбрана только одна исправная лампочка, равна \(\frac{{63}}{{C_{10}^3}}\).

2. Для решения этой задачи мы будем использовать вероятность с учетом условной вероятности.

Так как у нас есть три фабрики с разными процентами поставки, мы вычислим вероятность для каждой фабрики отдельно и затем сложим результаты.

a) Для расчета вероятности того, что изделие является стандартным и изготовлено на первой фабрике, мы будем использовать условную вероятность. Формула для этого выглядит так:
\[P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\]
Где \(P(A|B)\) - условная вероятность события \(A\) при условии события \(B\), \(P(A \cap B)\) - вероятность одновременного наступления событий \(A\) и \(B\), а \(P(B)\) - вероятность события \(B\).

В нашем случае, изделие является стандартным, это событие \(A\), а изделие изготовлено на первой фабрике, это событие \(B\). Таким образом, мы ищем условную вероятность того, что изделие стандартно при условии, что оно изготовлено на первой фабрике.

Вероятность того, что изделие стандартно и изготовлено на первой фабрике (\(P(A \cap B)\)) равна произведению вероятности стандартного изделия на вероятность изготовления на первой фабрике:
\[P(A \cap B) = 0.25 \cdot 0.99 = 0.2475\]

Вероятность изготовления на первой фабрике (\(P(B)\)) равна \(0.25\).

Теперь мы можем вычислить условную вероятность:
\[P(A|B) = \frac{{0.2475}}{{0.25}} = 0.99\]

Таким образом, вероятность того, что стандартное изделие изготовлено на первой фабрике, равна \(0.99\) или \(99\%\)