1. В прямокутному трикутнику ABC, на рисунку, угол B равен 90°, а угол A равен α. а) Переформулируйте выражение

Solnyshko

40

А. Для переформулирования выражения для \(\cos \alpha\), мы знаем, что в прямоугольном треугольнике \(\cos \alpha\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Поскольку гипотенуза в этой задаче равна AC, а прилежащий катет - BC, тогда:
\[\cos \alpha = \frac{{BC}}{{AC}}\]

Б. Для переформулирования выражения для гипотенузы AC через катет BC и тригонометрическую функцию угла \(\alpha\), мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
Так как угол B равен 90°, то AB - это противоположный катет. Подставив значения в уравнение, получим:
\[AC^2 = (AB)^2 + (BC)^2\]
\[AC^2 = (BC)^2 + (AB)^2\]
\[AC = \sqrt{(BC)^2 + (AB)^2}\]

В. Для переформулирования выражения для \(\sin C\) через тригонометрическую функцию угла \(\alpha\), мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180°. В данном случае угол B равен 90°, поэтому угол C равен 180° минус сумма углов A и B:
\[C = 180° - A - B\]
\[C = 180° - \alpha - 90°\]
\[C = 90° - \alpha\]

Используя свойство синуса, мы можем записать:
\[\sin C = \sin (90° - \alpha)\]

Так как синус разности равен разности синусов, получаем:
\[\sin C = \sin 90° \cos \alpha - \cos 90° \sin \alpha\]

Так как \(\sin 90° = 1\) и \(\cos 90° = 0\), подставляем значения:
\[\sin C = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha\]
\[\sin C = \cos \alpha\]