1. В треугольнике ABC отрезок BO является медианой. а) Постройте вектор BK, который равен сумме векторов BA и
1. В треугольнике ABC отрезок BO является медианой.
а) Постройте вектор BK, который равен сумме векторов BA и BC.
б) Докажите, что четырехугольник BAKC является параллелограммом.
в) Выразите вектор BO через векторы BA и BC.
г) Укажите вектор, выходящий из точки B, который представляет разность векторов BO.
а) Постройте вектор BK, который равен сумме векторов BA и BC.
б) Докажите, что четырехугольник BAKC является параллелограммом.
в) Выразите вектор BO через векторы BA и BC.
г) Укажите вектор, выходящий из точки B, который представляет разность векторов BO.
Чудесный_Мастер 45
Для решения данной задачи векторами, нам потребуется знание основных свойств треугольников и параллелограммов.а) Чтобы построить вектор BK, который равен сумме векторов BA и BC, мы должны сложить соответствующие координаты векторов BA (положительная часть) и BC (отрицательная часть), начиная с общей точки B.
\(\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\)
б) Чтобы доказать, что четырехугольник BAKC является параллелограммом, нам нужно доказать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны.
1. Вектор BA соответствует стороне AK. Вектор BC соответствует стороне KC.
2. Зная, что BO является медианой треугольника ABC, мы можем сделать вывод, что точка O делит сторону AK пополам, а точка M - сторону KC.
Так как точка O делит сторону AK пополам и сторона AK параллельна стороне BK (по построению), то отрезки OO" и BB" параллельны и равны между собой (по свойству медианы).
Точно так же можно показать, что точка O делит сторону KC пополам, и сторона KC параллельна стороне BK.
Следовательно, четырехугольник BAKC является параллелограммом.
в) Для того чтобы выразить вектор BO через векторы BA и BC, нам потребуется использовать свойство медианы треугольника.
Обозначим вектор BO как \(\overrightarrow{BO}\). Затем заменим вектор BO на векторы BA и BC с использованием медианы:
\(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\)
Так как медиана делит сторону AC пополам, то
\(\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{AO}\)
Вставим это значение в предыдущее уравнение:
\(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} - 2\overrightarrow{AO}\)
г) Чтобы найти вектор, представляющий разность векторов, мы должны вычесть соответствующие координаты векторов BA и BC, начиная с одной точки B.
\(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}\)