1) В треугольнике BCD с вершинами в точках A(2,5), C(-3; 1) и D(7; 2), проведена медиана VA. а) Что представляет собой

Zvezdnaya_Noch

45

Для решения этой задачи нам необходимо определить векторы BA и BD, а затем найти угол между ними.

а) Для начала найдём вектор BA. Для этого нужно вычесть координаты точки A из координат точки B.

Вектор BA = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (2 - (-3), 5 - 1) = (5, 4).

Теперь определим вектор BD. Для этого вычтем из координат точки D координаты точки B.

Вектор BD = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (7 - (-3), 2 - 1) = (10, 1).

Теперь нам нужно найти косинус угла между векторами BA и BD, используя их координаты.

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{BA}\cdot \mathbf{BD}}{|\mathbf{BA}|\cdot |\mathbf{BD}|},$$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $|\mathbf{BA}|$ и $|\mathbf{BD}|$ - длины векторов BA и BD соответственно.

Вычислим значения:

$$\mathbf{BA}\cdot \mathbf{BD}=5\cdot 10+4\cdot 1=50+4=54,$$

$$|\mathbf{BA}|=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41},$$

$$|\mathbf{BD}|=\sqrt{{10}^2+1^2}=\sqrt{100+1}=\sqrt{101}.$$

Теперь мы можем вычислить косинус угла $\theta$:

$$\cos \theta =\frac{54}{\sqrt{41}\cdot \sqrt{101}}.$$

б) Чтобы вычислить длину вектора VA, нам необходимо получить координаты точки V. Воспользуемся свойством медианы треугольника, которая делит сторону пополам.

Координаты точки V будут равны:

$$V(\frac{A_x+C_x}{2},\frac{A_y+C_y}{2}).$$

Подставим значения координат:

$$V(\frac{2+(-3)}{2},\frac{5+1}{2})=(-\frac{1}{2},3).$$

Теперь, когда у нас есть координаты точки V, мы можем найти вектор VA. Для этого вычтем из координат точки A координаты точки V.

Вектор VA = (x_A - x_V, y_A - y_V) = (2 - (-\frac{1}{2}), 5 - 3) = (\frac{5}{2}, 2).

Наконец, определим длину вектора VA, используя его координаты:

$$|\mathbf{VA}|=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+2^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+4}=\sqrt{\frac{25+16}{4}}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{\sqrt{41}}{2}.$$

Таким образом, ответ на задачу:

а) Угол между векторами BA и BD можно вычислить по формуле $\cos \theta =\frac{54}{\sqrt{41}\cdot \sqrt{101}}$.

б) Длина вектора VA равна $\frac{\sqrt{41}}{2}$.