1) В треугольнике BCD с вершинами в точках A(2,5), C(-3; 1) и D(7; 2), проведена медиана VA. а) Что представляет собой

Zvezdnaya_Noch

45

Для решения этой задачи нам необходимо определить векторы BA и BD, а затем найти угол между ними.

а) Для начала найдём вектор BA. Для этого нужно вычесть координаты точки A из координат точки B.

Вектор BA = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (2 - (-3), 5 - 1) = (5, 4).

Теперь определим вектор BD. Для этого вычтем из координат точки D координаты точки B.

Вектор BD = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (7 - (-3), 2 - 1) = (10, 1).

Теперь нам нужно найти косинус угла между векторами BA и BD, используя их координаты.

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{BA} \cdot \mathbf{BD}}{|\mathbf{BA}| \cdot |\mathbf{BD}|}, \]

где \( \cdot \) обозначает скалярное произведение, а \( |\mathbf{BA}| \) и \( |\mathbf{BD}| \) - длины векторов BA и BD соответственно.

Вычислим значения:

\[ \mathbf{BA} \cdot \mathbf{BD} = 5 \cdot 10 + 4 \cdot 1 = 50 + 4 = 54, \]

\[ |\mathbf{BA}| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}, \]

\[ |\mathbf{BD}| = \sqrt{10^2 + 1^2} = \sqrt{100 + 1} = \sqrt{101}. \]

Теперь мы можем вычислить косинус угла \( \theta \):

\[ \cos \theta = \frac{54}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{101}}. \]

б) Чтобы вычислить длину вектора VA, нам необходимо получить координаты точки V. Воспользуемся свойством медианы треугольника, которая делит сторону пополам.

Координаты точки V будут равны:

\[ V\left(\frac{{A_x + C_x}}{2}, \frac{{A_y + C_y}}{2}\right). \]

Подставим значения координат:

\[ V\left(\frac{{2 + (-3)}}{2}, \frac{{5 + 1}}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, 3\right). \]

Теперь, когда у нас есть координаты точки V, мы можем найти вектор VA. Для этого вычтем из координат точки A координаты точки V.

Вектор VA = (x_A - x_V, y_A - y_V) = (2 - (-\frac{1}{2}), 5 - 3) = (\frac{5}{2}, 2).

Наконец, определим длину вектора VA, используя его координаты:

\[ |\mathbf{VA}| = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25 + 16}{4}} = \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2}. \]

Таким образом, ответ на задачу:

а) Угол между векторами BA и BD можно вычислить по формуле \( \cos \theta = \frac{54}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{101}} \).

б) Длина вектора VA равна \( \frac{\sqrt{41}}{2} \).