1. В треугольной пирамиде DABC, где O - центр описанного шара, если DO1 = 4 и DC = 5, то какой будет радиус шара

Vesenniy_Veter

10

1. Обратимся к треугольнику DABC. Заметим, что точка D, точка O (центр описанного шара) и точка C (точка пересечения высот треугольника) лежат на одной прямой, так как радиус описанной окружности пересекает все высоты треугольника в их основаниях. Так как треугольник DABC - прямоугольный, высота треугольника является его медианой, и мы можем применить теорему Пифагора. Используя теорему Пифагора в треугольнике DBC, имеем:

\[ DB^2 = DC^2 - DB^2 \]

Так как DO1 является радиусом описанной окружности, получаем:

\[ Rш^2 = 5^2 - 4^2 \]

\[ Rш^2 = 25 - 16 \]

\[ Rш^2 = 9 \]

\[ Rш = 3 \]

Таким образом, радиус шара Rш равен 3.

2. В правильной четырехугольной призме AC1, боковые ребра равны по длине, а диагональ C1B1 является диаметром описанной окружности. Так как правильная четырехугольная призма является цилиндром, то основания призмы являются кругами, описанными вокруг шаров. Радиус шара Rш равен половине длины диагонали основания призмы. Так как основание призмы является квадратом, диагональ можно найти, используя теорему Пифагора.

Пусть сторона основания квадрата равна а. Тогда длина диагонали можно найти как сторона квадрата, умноженная на \(\sqrt{2}\). Таким образом, длина диагонали равна \(a\sqrt{2}\). Поскольку диагональ является диаметром описанной окружности вокруг шара, радиус шара будет равен половине длины диагонали, то есть \(Rш = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

3. В правильной четырехугольной призме AC1, центр вписанного шара O с радиусом Rш = 2 будет касаться плоскостей, образующих боковую поверхность призмы. Боковая поверхность призмы состоит из четырех прямоугольных треугольников.

Площадь одного прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Катетами являются радиус вписанного шара Rш и высота треугольника D1O, которая соединяет центр шара O с серединой одной из сторон основания призмы.

Длина стороны основания призмы равна 2 раза длине радиуса Rш (так как основание призмы является правильным четырехугольником). Таким образом, длина основания призмы равна 4.

Высота треугольника D1O может быть найдена с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике D1C1O:

\[ OC1^2 = DC1^2 - DO^2 \]

\[ Rш^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - Rш^2 \]

\[ 2Rш^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

\[ Rш^2 = \frac{a^2}{8} \]

\[ Rш = \frac{a}{2\sqrt{2}} \]

\[ D1O = OC1 - Rш = \frac{a}{2} - \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{2\sqrt{2}} \]

Теперь можем найти площадь одного прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot Rш \cdot D1O = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{a^2(\sqrt{2} - 1)^2}{8} \]

Поскольку боковая поверхность призмы состоит из 4 таких треугольников, площадь боковой поверхности SBOD будет равна:

\[ SBOD = 4S = 4 \cdot \frac{a^2(\sqrt{2} - 1)^2}{8} = \frac{a^2(\sqrt{2} - 1)^2}{2} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности SBOD равна \(\frac{a^2(\sqrt{2} - 1)^2}{2}\).

4. В прямой треугольной призме ABCA1B1C1, радиус описанной окружности вокруг треугольника равен Rш = 10 и длина отрезка BB1 равна 6. Обратим внимание на теорему о трех перпендикулярах, которая говорит, что пересекающиеся высоты треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной окружности.

Таким образом, пересечение отрезков BA1 и CB1 даст нам центр описанной окружности, который будет и являться центром вокруг которого мы ищем радиус окружности.

Пусть M - середина отрезка BA1, N - середина отрезка CB1 и O - центр описанной окружности. Тогда треугольник MNO является прямоугольным, так как MO и NO являются радиусами окружности, а MO и NO перпендикулярны отрезку BA1 и CB.

Используя теорему Пифагора в треугольнике MNO, имеем:

\[ MN^2 = MO^2 + NO^2 \]

\[ \left(\frac{BB1}{2}\right)^2 = Rш^2 + \left(\frac{BB1}{2} - \frac{BB1}{2}\right)^2 \]

\[ \left(\frac{6}{2}\right)^2 = Rш^2 + 0^2 \]

\[ \left(\frac{6}{2}\right)^2 = Rш^2 \]

\[ 3^2 = Rш^2 \]

\[ 9 = Rш^2 \]

\[ Rш = 3 \]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, будет равен 3.