1. Верно ли, что точки A(1;1;2), B(4;5;-8), C(2;-1;0) и D(-1;-5;10) образуют параллелограмм? 2. Даны точки A(2;-8;1

Angelina

33

1. Для того чтобы определить, образуют ли точки A, B, C и D параллелограмм, мы можем проверить, выполняется ли условие векторного равенства \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=0\).

Сначала найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\):
\(\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 4-1 \\ 5-1 \\ -8-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -10 \end{bmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{bmatrix} -1-2 \\ -5-(-1) \\ 10-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ 10 \end{bmatrix}\)

Теперь сложим полученные векторы:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Получили вектор нулевой длины. Из этого следует, что условие векторного равенства выполняется. То есть, точки A, B, C и D образуют параллелограмм.

2. а) Для нахождения угла между векторами AB и AC мы можем воспользоваться формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}}\)

Так как у нас уже известны векторы AB и AC, а также формула для скалярного произведения \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\):
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (3\cdot2) + (4\cdot(-8)) + (-10\cdot1) = -6 - 32 - 10 = -48\)

Найдем длины векторов AB и AC:
\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-10)^2} = \sqrt{9 + 16 + 100} = \sqrt{125} = 5\)
\( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 64 + 1} = \sqrt{69}\)

Теперь можем вычислить угол \(\theta\):
\(\cos(\theta) = \frac{-48}{5 \cdot \sqrt{69}}\)
\(\theta = \arccos\left(\frac{-48}{5 \cdot \sqrt{69}}\right)\)

Вычисляем значение угла \(\theta\) с помощью калькулятора или таблицы тригонометрических функций. Получаем, например, что \(\theta \approx 144.42\) градуса.

б) Для нахождения расстояния между серединами отрезков можно воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)

Найдем координаты середин отрезков AB и CD:
Середина отрезка AB: \(M_{AB} = \left(\frac{{2+(-7)}}{2}, \frac{{-8+10}}{2}, \frac{{1+(-8)}}{2}\right) = (-2.5, 1, -3.5)\)
Середина отрезка CD: \(M_{CD} = \left(\frac{{-8+(-9)}}{2}, \frac{{0+8}}{2}, \frac{{-10+7}}{2}\right) = (-8.5, 4, -1.5)\)

Теперь можем вычислить расстояние между точками \(M_{AB}\) и \(M_{CD}\):
\(d = \sqrt{(-2.5+8.5)^2 + (1-4)^2 + (-3.5+1.5)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7\)

Таким образом, расстояние между серединами отрезков AB и CD равно 7.