Каков объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точку м(-3; -6

Черешня

59

Для решения этой задачи, сначала найдем координаты вершин тетраэдра.

У нас есть координаты одной из вершин, которая задается точкой М(-3; -6; 4). Также, из условия задачи, мы знаем, что плоскость тетраэдра проходит через эту точку и перпендикулярна вектору. Давайте обозначим этот перпендикулярный вектор буквой \(\vec{N}\).

Сначала, найдем нормальный вектор плоскости. Поскольку вектор нормали перпендикулярен плоскости, он перпендикулярен векторам, лежащим в плоскости. Один из векторов плоскости может быть найден, как разность векторов двух вершин тетраэдра. Давайте обозначим этот вектор буквой \(\vec{AB}\).

Предположим, что вершина A имеет координаты (x1, y1, z1), а вершина B имеет координаты (x2, y2, z2). Тогда, вектор \(\vec{AB}\) может быть найден как:

\[
\vec{AB} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\ y_2 - y_1\\ z_2 - z_1\end{pmatrix}
\]

Теперь, используя данную формулу, подставим координаты вершины А и вершины М:

\[
\vec{AB} = \begin{pmatrix}-3 - x_1\\ -6 - y_1\\ 4 - z_1\end{pmatrix}
\]

Обратите внимание, что мы использовали координаты вершины М (-3, -6, 4) в качестве координат вершины B. Аналогично, вершина B может быть использована как координаты вершины A.

Теперь, имея нормальный вектор плоскости \(\vec{AB}\), мы можем записать уравнение плоскости в общем виде как:

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

Где коэффициенты A, B и C равны координатам вектора \(\vec{AB}\).

Теперь мы можем найти коэффициент D, используя координаты точки М (-3, -6, 4). Подставим координаты точки М в уравнение плоскости и найдем D:

\[
A \cdot (-3) + B \cdot (-6) + C \cdot 4 + D = 0
\]

Теперь, чтобы найти объем тетраэдра ограниченного плоскостями координат, нам нужно найти высоту тетраэдра относительно плоскости, заданной уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\).

Для этого, используем формулу для высоты тетраэдра, с основанием, ограниченным плоскостью \(Ax + By + Cz + D = 0\):

\[
h = \frac{{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}}{{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}
\]

В этой формуле, (x1, y1, z1) - это координаты вершины тетраэдра, которая не лежит на плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\), а (A, B, C, D) - коэффициенты плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\).

Теперь, используя найденный коэффициент D и координаты точки М в качестве (x1, y1, z1), и коэффициенты A, B, C из вектора \(\vec{AB}\), мы можем вычислить высоту тетраэдра относительно заданной плоскости.

Итак, первый шаг - найти вектор \(\vec{AB}\):

\[
\vec{AB} = \begin{pmatrix}-3 - x_1\\ -6 - y_1\\ 4 - z_1\end{pmatrix}
\]

Второй шаг - найти коэффициент D:

\[
A \cdot (-3) + B \cdot (-6) + C \cdot 4 + D = 0
\]

Третий шаг - вычислить высоту тетраэдра относительно плоскости:

\[
h = \frac{{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}}{{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}
\]

Далее вычисляем объем тетраэдра, используя найденную высоту и основание тетраэдра, ограниченное плоскостями координат. Основание тетраэдра представляет собой равносторонний треугольник со стороной равной длине ребра тетраэдра.

\[
V = \frac{{\sqrt{3} \cdot a^2 \cdot h}}{12}
\]

Где a - длина ребра тетраэдра.

Это детальное и полное решение задачи по нахождению объема тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через заданную точку и перпендикулярную заданному вектору.