Каковы значения диагоналей параллелограмма при сторонах, равных 5 см и 3 см, и угле между ними, равном

Ивановна

19

Чтобы найти значения диагоналей параллелограмма, мы можем использовать теорему косинусов. Дано, что стороны параллелограмма равны 5 см и 3 см, а угол между ними равен \(\theta\).

Давайте обозначим диагонали параллелограмма как \(d_1\) и \(d_2\). Чтобы использовать теорему косинусов, нам нужно знать степень угла между диагоналями. Для этого представим параллелограмм как два треугольника, боковая сторона которого - это диагональ параллелограмма.

Тогда мы получим следующую картину:

\[
\begin{align*}
d_1^2 &= 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(\theta) \\
d_2^2 &= 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(\pi - \theta)
\end{align*}
\]

Важно заметить, что угол между диагоналями равен \(\pi - \theta\), потому что диагонали параллелограмма пересекаются в его середине, и поэтому образуют прямой угол.

Теперь, подставляя значения, данного в условии задачи, мы можем решить эти уравнения:

\[
\begin{align*}
d_1^2 &= 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(\theta) \\
d_2^2 &= 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(\pi - \theta)
\end{align*}
\]

Выполним необходимые вычисления:

\[
\begin{align*}
d_1^2 &= 25 + 9 - 30 \cdot \cos(\theta) \\
d_2^2 &= 25 + 9 - 30 \cdot \cos(\pi - \theta)
\end{align*}
\]

Стоит заметить, что \(\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)\).

Теперь мы можем продолжить подстановку значений и упростить уравнения:

\[
\begin{align*}
d_1^2 &= 34 - 30 \cdot \cos(\theta) \\
d_2^2 &= 34 + 30 \cdot \cos(\theta)
\end{align*}
\]

И, наконец, найдём значения диагоналей:

\[
\begin{align*}
d_1 &= \sqrt{34 - 30 \cdot \cos(\theta)} \\
d_2 &= \sqrt{34 + 30 \cdot \cos(\theta)}
\end{align*}
\]

Таким образом, значения диагоналей равны \(\sqrt{34 - 30 \cdot \cos(\theta)}\) и \(\sqrt{34 + 30 \cdot \cos(\theta)}\). Здесь \(\cos(\theta)\) представляет собой значение косинуса угла между сторонами параллелограмма, которое необходимо определить из условия задачи.