1) Верно ли утверждение о том, что в правильной треугольной пирамиде с высотой H, равной стороне основания a, боковые

Viktor

65

1) Для проверки данного утверждения рассмотрим правильную треугольную пирамиду с высотой H, равной стороне основания a.

Поскольку пирамида правильная, то основание представляет собой равносторонний треугольник. В таком треугольнике все углы основания и все стороны равны между собой.

Рассмотрим боковые ребра пирамиды. Поскольку они образуют углы с плоскостью основания, возьмем одно из них и проведем прямую, перпендикулярную плоскости основания. Затем проведем линию из вершины пирамиды до конца этого ребра. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник, в котором перпендикулярный к основанию катет равен высоте H, а гипотенуза равна боковому ребру.

Чтобы узнать угол между боковым ребром и плоскостью основания, найдем в прямоугольном треугольнике значение угла. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (боковому ребру).

Тангенс угла \( \theta = \frac{H}{a/2} = \frac{2H}{a} \).

Если данная дробь равна \(\sqrt{3}\), то утверждение о правильной треугольной пирамиде с высотой H, равной стороне основания a, и углом 60° между боковыми ребрами и плоскостью основания верно.

2) Для доказательства невозможности построения правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром 7 см и стороной квадрата, равной 10 см, воспользуемся формулой для площади основания такой пирамиды.

Пусть a - длина стороны квадрата, б - длина бокового ребра пирамиды. Тогда площадь основания S равна:

\[ S = a^2 \]

Зная, что в правильной четырехугольной пирамиде все стороны основания равны между собой, можем записать уравнение:

\[ a = b \]

Подставим полученное равенство в формулу для площади основания:

\[ S = b^2 \]

Теперь рассмотрим площадь боковой поверхности пирамиды. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot b^2 \]

Сравнивая площадь основания и боковую поверхность, получаем:

\[ b^2 = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot b^2 \]

Упрощая это уравнение, видим:

\[ 1 = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \]

Однако данное уравнение неверно, так как левая часть равна 1, а правая часть равна примерно 0.866.

Таким образом, получаем противоречие, что невозможно построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см, используя сторону квадрата равной 10 см в качестве основания.

3) Утверждение "Если все ребра пирамиды равны, то пирамида является правильной" опровергается.

Для опровержения данного утверждения достаточно рассмотреть пример пирамиды, у которой все ребра равны, но основание не является правильным многоугольником.

Например, рассмотрим пирамиду с квадратным основанием, где все ребра равны между собой. В данном случае, основание будет квадратом, а боковые грани — равнобедренными треугольниками. Такая пирамида будет являться случаем правильной пирамиды только в том случае, если основание будет правильным квадратом.

Таким образом, приведенный пример доказывает, что даже если все ребра пирамиды равны, пирамида не обязательно является правильной, если основание не является правильным многоугольником.