1. Верные утверждения: 1) AF < FM; 2) FM < FK; 3) FK < AK. 2. Когда ABCD является: 1) прямоугольником; 2) ромбом

Pylayuschiy_Zhar-ptica_8950

34

1. По условию задачи, утверждается, что AF < FM, FM < FK и FK < AK. Чтобы доказать, что эти утверждения действительно верны, рассмотрим треугольник AFK.

Утверждение 1: AF < FM
В треугольнике AFK, сторона AF является основанием, а сторона FM является боковой стороной. Если мы сравним основание и боковую сторону треугольника, то можем заметить, что основание всегда больше боковой стороны в треугольнике. Таким образом, утверждение AF < FM верно.

Утверждение 2: FM < FK
В треугольнике AFK, сторона FM является основанием, а сторона FK является боковой стороной. Опять же, основание всегда больше боковой стороны в треугольнике. Таким образом, утверждение FM < FK верно.

Утверждение 3: FK < AK
В треугольнике AFK, сторона FK является основанием, а сторона AK является боковой стороной. Основание всегда больше боковой стороны в треугольнике, поэтому утверждение FK < AK верно.

Таким образом, все три утверждения верны: 1) AF < FM; 2) FM < FK; 3) FK < AK.

2. Когда прямые CD и CF в четырехугольнике ABCD не перпендикулярны друг другу?

Перпендикулярность двух прямых означает, что они образуют прямой угол друг с другом. Таким образом, если прямые CD и CF не перпендикулярны, то они образуют непрямой угол.

1) Когда ABCD - прямоугольник:
В прямоугольнике ABCD все углы прямые, поэтому прямые CD и CF перпендикулярны друг другу.

2) Когда ABCD - ромб:
В ромбе ABCD все стороны равны, но только две противоположные стороны параллельны. Это означает, что прямая CF, которая является диагональю ромба, не является высотой и не перпендикулярна прямой CD.

3) Когда ABCD - квадрат:
В квадрате ABCD все стороны равны и все углы прямые, поэтому CD и CF перпендикулярны друг другу.

Таким образом, в случае ромба прямые CD и CF не перпендикулярны друг другу.

3. Чтобы точки DM и ВС были перпендикулярными, прямая AM должна быть высотой треугольника ABC.

1) Если AM является биссектрисой, то она делит угол BAC на два равных угла. Это не оказывает влияния на прямую BC, и поэтому DM и ВС не будут перпендикулярными.

2) Если AM является медианой, то она делит сторону BC пополам. Но это не оказывает влияния на прямую DM и прямую BC, поэтому DM и ВС не будут перпендикулярными.

3) Если AM является высотой треугольника ABC, то она перпендикулярна к стороне BC, и поэтому DM и ВС будут перпендикулярными.

Таким образом, чтобы прямые DM и BC были перпендикулярными, прямая AM должна быть высотой треугольника ABC.

4. Если точка M равноудалена от вершин треугольника АВС, то ее проекция на плоскости АВС будет точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

1) Высоты треугольника - это прямые, которые проведены из вершины треугольника к противоположной стороне и перпендикулярны ей. Расстояние от точки M до каждой из вершин треугольника равно, поэтому M будет лежать на высотах треугольника. Следовательно, проекция точки M на плоскость АВС также будет лежать на высотах треугольника и не будет точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

2) Биссектрисы треугольника - это прямые, которые делят каждый из углов треугольника пополам. Поскольку M находится на равном удалении от вершин треугольника, она будет находиться на трех биссектрисах. Следовательно, проекция точки M на плоскость АВС будет точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника - это прямые, которые проходят через середины сторон треугольника и перпендикулярны к этим сторонам. Поскольку M находится на равном удалении от вершин треугольника, она будет находиться на трех серединных перпендикулярах. Следовательно, проекция точки M на плоскость АВС будет точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Таким образом, если точка M равноудалена от вершин треугольника АВС, ее проекция на плоскости АВС будет точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. В треугольнике АВС, где AM — медиана, AD — биссектриса, AH — высота, расстояние от вершины А до основания медианы AM больше, чем расстояния от вершины А до основания биссектрисы AD и основания высоты AH.