1) Вопрос: Как вычислить значение выражения 7 - 3∙64^(1/6). 2) Вопрос: Как упростить выражение 11^1,5/11^0,3

Basya_997

67

1) Чтобы вычислить значение выражения \(7 - 3\cdot64^{1/6}\), давайте разобъем его на шаги для более понятного решения.

Шаг 1: Рассчитаем значение \(64^{1/6}\).
Чтобы найти корень шестой степени из 64, мы возводим 64 в степень, обратную шестой степени. Таким образом, получаем: \(\sqrt[6]{64} = 2\).

Шаг 2: Подставим полученное значение обратно в исходное выражение.
\(7 - 3\cdot2 = 7 - 6 = 1\).

Ответ: значение выражения \(7 - 3\cdot64^{1/6}\) равно 1.

2) Для упрощения выражения \(\frac{11^{1.5}}{11^{0.3}}\) будем следовать следующим шагам.

Шаг 1: Применим свойство степеней одного числа с одинаковым основанием: \(a^n \div a^m = a^{n - m}\).
Таким образом, получаем: \(\frac{11^{1.5}}{11^{0.3}} = 11^{1.5 - 0.3}\).

Шаг 2: Выполним вычисления в знаменателе: \(1.5 - 0.3 = 1.2\).

Ответ: упрощенное выражение \(\frac{11^{1.5}}{11^{0.3}}\) равно \(11^{1.2}\).

3) Для упрощения выражения \(2^{\log_2{3}} + \log_7{2} - \log_7{14}\) будем следовать следующим шагам.

Шаг 1: Вычислим значение логарифма \(\log_2{3}\).
\(\log_2{3}\) - это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 3. Значит, \(2^{\log_2{3}} = 3\).

Шаг 2: Вычислим значения логарифмов: \(\log_7{2}\) и \(\log_7{14}\).
Эти значения требуют более сложных вычислений и не могут быть упрощены до конкретных чисел.

Ответ: упрощенное выражение \(2^{\log_2{3}} + \log_7{2} - \log_7{14}\) равно \(3 + \log_7{2} - \log_7{14}\).

4) Чтобы найти значение \(\cos{\alpha}\), если \(\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{3}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), воспользуемся функциональным соотношением между синусом и косинусом.

Шаг 1: Запишем соотношение: \(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha} = 1\).
Заменяем \(\sin{\alpha}\) по данным условиям: \(\cos^2{\alpha} + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1\).

Шаг 2: Решаем полученное уравнение: \(\cos^2{\alpha} + \frac{2}{9} = 1\).
Вычитаем \(\frac{2}{9}\) с обеих сторон: \(\cos^2{\alpha} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\).

Шаг 3: Извлекаем квадратный корень: \(\cos{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{7}{9}}\).
Так как \(\alpha\) находится в первом квадранте (\(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)), то \(\cos{\alpha}\) положительно.

Ответ: значение \(\cos{\alpha}\), если \(\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{3}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), равно \(\sqrt{\frac{7}{9}}\).