1. Выразить векторы AC, BC и AB (M, N - середины сторон треугольника ABC) с использованием векторов е1 и

Зимний_Вечер

33

1. Для того чтобы выразить векторы AC, BC и AB с использованием векторов е1 и е2, мы можем воспользоваться свойствами серединных перпендикуляров в треугольнике.

Вспомним, что серединный перпендикуляр к отрезку является вектором, перпендикулярным этому отрезку и имеющим направление и длину, равные направлению и длине этого отрезка.

Пусть вектор е1 направлен по стороне AB, а вектор е2 - по стороне BC. Тогда вектор AB будет равен полусумме векторов е1 и е2, так как AM - серединный перпендикуляр к стороне BC, а BM - серединный перпендикуляр к стороне AB. Таким образом, мы можем записать:

\[AB = \frac{{e1 + e2}}{2}\]

Аналогично, вектор AC будет равен полусумме векторов е1 и -е2, так как вектор CM - серединный перпендикуляр к стороне AB. Таким образом, мы получаем:

\[AC = \frac{{e1 + (-e2)}}{2}\]

И, наконец, вектор BC будет равен полусумме векторов -е1 и е2, так как вектор CN - серединный перпендикуляр к стороне AB. Таким образом, мы получаем:

\[BC = \frac{{(-e1) + e2}}{2}\]

2. Чтобы выразить вектор ОM - ОN через векторы АД, мы можем воспользоваться свойством серединного перпендикуляра в трапеции.

Пусть вектор AD направлен от точки A к точке D, а вектор AB - от точки A к точке B. Тогда вектор ОM можно записать как полусумму векторов AD и AB, так как OM - серединный перпендикуляр к отрезку AB. Таким образом, мы можем записать:

\[OM = \frac{{AD + AB}}{2}\]

Аналогично, вектор ОN можно записать как полусумму векторов AD и -AB, так как ON - серединный перпендикуляр к отрезку AB в трапеции ABCD. Таким образом, мы получаем:

\[ON = \frac{{AD + (-AB)}}{2}\]

Наконец, чтобы выразить вектор ОM - ОN, мы вычитаем вектор ON из вектора ОM:

\[OM - ON = \frac{{AD + AB}}{2} - \frac{{AD + (-AB)}}{2}\]

Упростив эту разность, получим:

\[OM - ON = \frac{{AD + AB - AD - (-AB)}}{2} = \frac{{2AB}}{2} = AB\]

Таким образом, вектор ОM - ОN равен вектору AB.