1. What is the derivative of the given function? a) f(x)=-2x^4+(1/3x^6)-1 b) f(x)=(2/x^4)+x c) f(x)=3sinx (Parentheses
1. What is the derivative of the given function? a) f(x)=-2x^4+(1/3x^6)-1 b) f(x)=(2/x^4)+x c) f(x)=3sinx (Parentheses are not necessary; I included them for clarity of the fraction composition)
2. Find the derivative of function f and compute its value at the specified point. a) f(x)=cos(3x-п/4), x=п/4 b) f(x)=(x^2-2)/(x), x=-1
3. Find the points at which the derivative of the given function is equal to zero. a) f(x)=sqrt(2*cosx+x) b) f(x)=x^4-2x^2
2. Find the derivative of function f and compute its value at the specified point. a) f(x)=cos(3x-п/4), x=п/4 b) f(x)=(x^2-2)/(x), x=-1
3. Find the points at which the derivative of the given function is equal to zero. a) f(x)=sqrt(2*cosx+x) b) f(x)=x^4-2x^2
Skolzkiy_Pingvin_7897 65
Задача 1:a) Чтобы найти производную функции \(f(x)=-2x^4+\frac{1}{3}x^6-1\), вам понадобится применить правило дифференцирования степенной функции. Производная степенной функции \(x^n\) равна произведению показателя степени на коэффициент перед степенью, и затем уменьшении показателя степени на 1.
Итак, применим правило дифференцирования степенной функции по очереди для каждого слагаемого:
\[f"(x)=-2 \cdot 4x^{4-1} + \frac{1}{3} \cdot 6x^{6-1} - 0\]
Упростим выражение:
\[f"(x)=-8x^3 + 2x^5\]
b) Для функции \(f(x)=\frac{2}{x^4}+x\) опять применим правило дифференцирования степенной функции. Производная \(f(x)=\frac{2}{x^4}\) будет равна:
\[f"(x) = -2 \cdot 4x^{4-1} = -8x^{-3} = \frac{-8}{x^3}\]
И для слагаемого \(f(x)=x\) производная будет равна:
\[f"(x) = 1\]
Теперь сложим обе производные:
\[f"(x) = \frac{-8}{x^3} + 1\]
c) Найдем производную функции \(f(x)=3\sin(x)\). Для этого мы применим правило дифференцирования синуса, которое гласит, что производная функции \(\sin(x)\) равна \(\cos(x)\).
\[f"(x) = 3\cos(x)\]
Задача 2:
a) Для нахождения производной функции и нахождения значения в указанной точке, нужно проделать два шага. Сначала найдем производную функции \(f(x) = \cos(3x - \frac{\pi}{4})\). Производная косинуса равна минус синусу:
\[f"(x) = -\sin(3x - \frac{\pi}{4})\]
Теперь нужно найти значение производной в точке \(x = \frac{\pi}{4}\). Подставим это значение в полученную производную:
\[f"(\frac{\pi}{4}) = -\sin(3\cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = -\sin(2\pi) = 0\]
b) Найдем производную функции \(f(x) = \frac{x^2 - 2}{x}\). Сначала разложим функцию на два слагаемых:
\[f(x) = x - \frac{2}{x}\]
Теперь найдем производную каждого слагаемого по отдельности.
Производная слагаемого \(x\) будет равна:
\[f"(x) = 1\]
А производная слагаемого \(\frac{2}{x}\) равна:
\[f"(x) = -\frac{2}{x^2}\]
Теперь сложим обе производные:
\[f"(x) = 1 - \frac{2}{x^2}\]
Теперь нам нужно найти значение производной в точке \(x = -1\). Подставим это значение в полученную производную:
\[f"(-1) = 1 - \frac{2}{(-1)^2} = 1 - 2 = -1\]
Задача 3:
a) Чтобы найти точки, в которых производная функции \(f(x) = \sqrt{2\cos(x) + x}\) равна нулю, нужно приравнять производную к нулю и решить уравнение:
\[f"(x) = 0\]
Для этого найдем производную функции \(f(x)\) и приравняем ее к нулю:
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{2\cos(x) + x}) = 0\]
Уравнение является сложным и аналитическое решение может быть сложно получить. Решение данного уравнения требует применения численных методов, которые выходят за рамки данной задачи.
b) Для решения задачи нужно найти точки, в которых производная функции \(f(x) = x^4 - 2x^2\) равна нулю. Аналогично предыдущей задаче, нужно приравнять производную к нулю и решить уравнение:
\[f"(x) = 0\]
Найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x\]
Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[4x^3 - 4x = 0\]
Факторизуем уравнение:
\[4x(x^2 - 1) = 0\]
Получаем два значения \(x\), при которых производная равна нулю: \(x = 0\) и \(x = \pm 1\).