1. What is the greatest common divisor of the two numbers, where the digit 8 repeats 89 times and the digit 6 repeats

Морозный_Король

42

1. Чтобы найти наибольший общий делитель для двух чисел, где цифра 8 повторяется 89 раз, а цифра 6 - 2500 раз, мы можем использовать метод факторизации. Сначала проведем факторизацию обоих чисел. Оба числа могут быть представлены в виде произведения степени их основных цифр: первое число - \(8^{89}\), второе число - \(6^{2500}\).

Теперь найдем наибольшую степень общей цифры 8 и 6. В данном случае у нас нет других цифр, поэтому ответом будет наибольшая степень цифры 6, то есть \(6^{2500}\). Таким образом, наибольший общий делитель равен \(6^{2500}\).

2. Для решения уравнения 45x + 31y = 2 в целых числах мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида. Наша цель - найти такие целые числа x и y, чтобы удовлетворить это уравнение.

Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 45 и 31. Мы можем использовать алгоритм Евклида, который заключается в последовательном нахождении остатков от деления предыдущего числа на текущее до тех пор, пока не достигнем нулевого остатка.

45 = 31 * 1 + 14
31 = 14 * 2 + 3
14 = 3 * 4 + 2
3 = 2 * 1 + 1
2 = 1 * 2 + 0

Таким образом, НОД для чисел 45 и 31 равен 1.

Теперь мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению.

1 = 3 - 2 * 1
1 = 3 - (14 - 3 * 4) * 1
1 = 3 * 5 - 14
1 = (31 - 14 * 2) * 5 - 14
1 = 31 * 5 - 14 * 11

Таким образом, одно из решений уравнения 45x + 31y = 2 в целых числах будет x = -11 и y = 5.

3. Для нахождения линеаризации наибольшего общего делителя трех чисел: 1734, 424 и 106, мы воспользуемся методом преобразования аргументов.

Найдем НОД для первых двух чисел: 1734 и 424.
1734 = 4 * 424 + 398
424 = 1 * 398 + 26
398 = 15 * 26 + 8
26 = 3 * 8 + 2
8 = 4 * 2 + 0

Таким образом, НОД для чисел 1734 и 424 равен 2.

Затем найдем НОД для двух полученных НОД и третьего числа: 2 и 106.
106 = 53 * 2 + 0

Таким образом, НОД для чисел 1734, 424 и 106 равен 2.

4. Чтобы найти \(LOG_{53}2\) в кольце вычетов по модулю 43 с использованием метода Шэнка, мы должны вычислить степень, в которую нужно возвести 53, чтобы получить 2.

Метод Шэнка состоит в разбиении степени на два множителя и последовательном нахождении значений в таблице.

Сначала найдем размерность кольца вычетов. Для данного случая размерность равна модулю, то есть 43.

Далее разбиваем размерность на два множителя, близких по значению. Мы можем разделить 43 на ближайшее меньшее простое число, которое отличается от него на единицу. В данном случае это 7, так как \(43 = 6 \cdot 7 + 1\).

Теперь создаем таблицу значений для двух множителей.

Первый множитель (7):
7^0 = 1 mod 43
7^1 = 7 mod 43
7^2 = 12 mod 43
7^3 = 32 mod 43
7^4 = 13 mod 43
7^5 = 24 mod 43
7^6 = 6 mod 43

Второй множитель (-1):
(-1)^0 = 1 mod 43
(-1)^1 = -1 mod 43
(-1)^2 = 1 mod 43
(-1)^3 = -1 mod 43
(-1)^4 = 1 mod 43
(-1)^5 = -1 mod 43
(-1)^6 = 1 mod 43

Теперь сопоставим значение 2 в обеих таблицах:

7^x = 2 mod 43
(-1)^y = 2 mod 43

x = 1, y = 1
7^1 = 7 mod 43
(-1)^1 = -1 mod 43

Таким образом, \(LOG_{53}2\) в кольце вычетов по модулю 43 равен 1.

5. Чтобы найти \(LOG_{72}7\) в кольце вычетов по модулю 61 с использованием алгоритма Полларда "ро", мы должны последовательно генерировать ряды чисел и искать повторения в полученных значениях.

Алгоритм Полларда "ро" состоит из трех случайных функций f(x), выбранных из определенного набора значений.

Сначала выберем одну из трех возможных функций: f(x) = x^2 + 1.

Начнем с произвольного значения x, например, x = 2.

Генерируем последовательность значений с помощью выбранной функции:
x0 = 2
x1 = f(x0) = 2^2 + 1 = 5
x2 = f(x1) = 5^2 + 1 = 26
x3 = f(x2) = 26^2 + 1 = 677
x4 = f(x3) = 677^2 + 1 = 458626

Продолжаем генерировать значения до тех пор, пока не найдем повторение или не достигнем целевого значения 7.

x5 = f(x4) = 458626^2 + 1 = 210917825377
x6 = f(x5) = 210917825377^2 + 1 = 44510278537524702275850...
...
...

При дальнейшем продолжении мы найдем повторение значений. Обозначим первое повторение как xk и второе повторение как x2k.

Теперь мы можем найти \(LOG_{72}7\) как отношение разности этих значений к разности индексов:
\(LOG_{72}7 = \frac{{2k - k}}{{x2k - xk}}\)

6. Чтобы определить, является ли число 172189 простым или составным с помощью метода факторизации Ферма, мы должны проверить, существуют ли такие целые числа a и b, чтобы \(a^2 - b^2 = 172189\).

Предположим, что a = \(\sqrt{172189}\). Поскольку число 172189 является большим простым числом, а не точным квадратом, мы не сможем найти целое значение для а.

Таким образом, количество найденных целых значений для а будет меньше 1. Это означает, что мы не можем применить метод факторизации Ферма для определения простоты числа 172189.

Вывод: Необходимо использовать другие методы для определения, является ли число 172189 простым или составным.