1. What is the lateral surface area, total surface area, and volume of the solid obtained by rotating a rectangle with

Mariya

24

1. Чтобы найти площадь боковой поверхности, общую площадь поверхности и объем твердого тела, полученного вращением прямоугольника с сторонами 6 дм и 4 дм вокруг его меньшей стороны, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем длину окружности, образованной вращением прямоугольника. Она равна длине меньшей стороны прямоугольника. Обозначим эту длину как \(l\).

\[l = 2 \cdot \pi \cdot \text{{меньшая сторона прямоугольника}}\]
\[l = 2 \cdot \pi \cdot 4 \, \text{{дм}}\]
\[l = 8 \pi \, \text{{дм}}\]

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности. Она равна произведению длины окружности на высоту прямоугольника. Обозначим эту площадь как \(S_b\).

\[S_b = l \cdot \text{{высота прямоугольника}}\]
\[S_b = 8 \pi \cdot 6 \, \text{{дм}}\]
\[S_b = 48 \pi \, \text{{дм}}^2\]

Шаг 3: Найдем общую площадь поверхности. Она равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади прямоугольника. Обозначим эту площадь как \(S_{\text{{общ}}}.\)

\[S_{\text{{общ}}} = S_b + 2 \cdot (\text{{площадь прямоугольника}})\]
\[S_{\text{{общ}}} = 48 \pi + 2 \cdot (6 \, \text{{дм}} \cdot 4 \, \text{{дм}})\]
\[S_{\text{{общ}}} = 48 \pi + 2 \cdot 24 \, \text{{дм}}^2\]
\[S_{\text{{общ}}} = 48 \pi + 48 \, \text{{дм}}^2\]

Шаг 4: Найдем объем твердого тела, полученного вращением прямоугольника. Он равен произведению площади прямоугольника на высоту прямоугольника. Обозначим этот объем как \(V\).

\[V = (\text{{площадь прямоугольника}}) \cdot (\text{{высота прямоугольника}})\]
\[V = 6 \, \text{{дм}} \cdot 4 \, \text{{дм}} \cdot 6 \, \text{{дм}}\]
\[V = 144 \, \text{{дм}}^3\]

Подведем итоги:
- Площадь боковой поверхности равна \(48 \pi \, \text{{дм}}^2\).
- Общая площадь поверхности равна \(48 \pi + 48 \, \text{{дм}}^2\).
- Объем твердого тела равен \(144 \, \text{{дм}}^3\).

2. Если площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2 \pi\), а диаметр основания равен \(1\), то для нахождения высоты цилиндра нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем радиус основания цилиндра. Обозначим его как \(r\).

\[r = \frac{{\text{{диаметр основания}}}}{2}\]
\[r = \frac{1}{2}\]
\[r = \frac{1}{2}\]

Шаг 2: Найдем высоту цилиндра. Обозначим ее как \(h\).

\[h = \frac{{\text{{площадь боковой поверхности}}}}{{2 \pi \cdot r}}\]
\[h = \frac{{2 \pi}}{{2 \pi \cdot \frac{1}{2}}}\]
\[h = \frac{2 \pi}{\pi}\]
\[h = 2\]

Подведем итоги:
- Высота цилиндра равна \(2\).

3. Если общая площадь поверхности цилиндра равна \(36 \pi \, \text{{дм}}^2\), а радиус основания меньше высоты на 5 дм, то для нахождения высоты и радиуса цилиндра нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем высоту цилиндра. Обозначим ее как \(h\).

\[h = \frac{{\text{{общая площадь поверхности}}}}{{2 \pi \cdot r + 2 \pi \cdot (r + 5)}}\]
\[h = \frac{{36 \pi}}{{2 \pi \cdot r + 2 \pi \cdot (r + 5)}}\]

Шаг 2: Найдем радиус основания цилиндра. Обозначим его как \(r\).

\[r = h + 5\]

Таким образом, для окончательного нахождения высоты и радиуса цилиндра, нужно подставить значение \(r\) в уравнение для \(h\).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять задачи и получить правильные ответы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!