1) What is the probability that: a) the randomly selected bulbs have the same power; b) at least two of them are

Baron

57

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Чтобы найти вероятность, что случайно выбранные лампочки имеют одинаковую мощность, нам нужно знать, сколько всего возможных вариантов выбора лампочек и сколько из них удовлетворяют условию.

a) Найдем вероятность того, что все лампочки имеют одинаковую мощность. Предположим, что у нас есть n разных мощностей лампочек.

Вероятность выбрать первую лампочку любой мощности равна 1, так как мы пока не ставим никаких ограничений.

Вероятность выбрать вторую лампочку также равна 1, так как она должна иметь такую же мощность, как первая выбранная лампочка.

Аналогично, вероятность выбрать третью лампочку также равна 1.

Получаем, что общая вероятность составляет \(P(a) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\).

Таким образом, вероятность выбрать три лампочки одинаковой мощности равна 1.

b) Чтобы найти вероятность того, что хотя бы две лампочки будут иметь мощность 100 Вт, мы можем воспользоваться дополнением к вероятности того, что все лампочки имеют разные мощности.

Предположим, что у нас есть n разных мощностей лампочек.

Из них, вариантов выбрать первую лампочку с мощностью 100 Вт будет 1 из n (поскольку только одна мощность равна 100 Вт).

Вероятность выбрать вторую лампочку такой же мощности будет \(\frac{1}{n-1}\), так как теперь у нас осталось n-1 мощность лампочек для выбора (включая мощность 100 Вт).

Аналогично, вероятность выбрать третью лампочку мощностью 100 Вт составит \(\frac{1}{n-2}\).

Таким образом, вероятность выбрать три лампочки мощностью 100 Вт будет равна \(P(b) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{n-2}\).

2) Чтобы найти вероятность того, что все три шарика будут разного цвета, нам нужно узнать, сколько всего возможных вариантов выбора шариков и сколько из них удовлетворяют условию.

Предположим, у нас есть m разных цветов шариков.

Выбрать первый шарик любого цвета можно из m вариантов.

Выбрать второй шарик разного цвета можно уже из m - 1 варианта.

Аналогично, выбрать третий шарик разного цвета можно из m - 2 вариантов.

Таким образом, общая вероятность составляет \(P = \frac{m}{m} \cdot \frac{m-1}{m} \cdot \frac{m-2}{m} = \frac{m(m-1)(m-2)}{m^3}\).

3) Чтобы найти вероятность в случае с разными вероятностями для разных стрелков, нам нужно знать вероятность каждого стрелка и условие, для которого мы ищем вероятность.

a) Пусть A - событие, когда первый стрелок попадает в цель, а B - событие, когда второй стрелок попадает в цель.

Тогда вероятность события "только один стрелок попадет в цель" равна вероятности события A и не В, или B и не A.

Мы можем найти ее как произведение вероятности первого стрелка попасть (0.8) на вероятность второго стрелка не попасть (1 - 0.7 = 0.3), и прибавить это к произведению вероятности первого стрелка не попасть (1 - 0.8 = 0.2) на вероятность второго стрелка попасть (0.7):

\[P(a) = 0.8 \cdot 0.3 + 0.2 \cdot 0.7 = 0.24 + 0.14 = 0.38\]

Таким образом, вероятность того, что только один стрелок попадет в цель равна 0.38.

b) Вероятность события "хотя бы один из них попадет в цель" можно найти как дополнение к вероятности события "ни один из них не попадет в цель".

Поэтому вероятность события "хотя бы один из них попадет в цель" будет равна 1 минус произведение вероятности первого стрелка не попасть (1 - 0.8 = 0.2) и вероятности второго стрелка не попасть (1 - 0.7 = 0.3):

\[P(b) = 1 - 0.2 \cdot 0.3 = 1 - 0.06 = 0.94\]

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель, равна 0.94.

Надеюсь, эти решения помогут вам лучше понять задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.