1. Яке відстань від центра кола до хорди, яка сполучає кінці двох радіусів, якщо між цими радіусами кут дорівнює
1. Яке відстань від центра кола до хорди, яка сполучає кінці двох радіусів, якщо між цими радіусами кут дорівнює 120 градусів, а радіус кола - 12 см?
2. Як довести, що хорда, проведена з однієї точки кола, яка утворює кут 60 градусів з діаметром кола, дорівнює радіусу кола?
2. Як довести, що хорда, проведена з однієї точки кола, яка утворює кут 60 градусів з діаметром кола, дорівнює радіусу кола?
Vechnyy_Put 8
1. Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства треугольника, хорды и радиусов окружности.Пусть Р и Q - это крайние точки хорды, которая соединяет концы двух радиусов, а O - центр окружности. Поскольку угол между радиусами равен 120 градусам, то треугольник POQ - равносторонний, так как все его углы равны 60 градусам.
Теперь давайте взглянем на треугольник RPO. Радиус OP является высотой треугольника, а сторона PO равна половине длины хорды. Мы хотим найти расстояние от O до хорды PQ.
Можем заметить, что треугольник RPO также является прямоугольным треугольником. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения высоты треугольника:
\[RP^2 = RO^2 - OP^2\]
Так как треугольник POQ - равносторонний, то сторона PO равна радиусу окружности. Будем обозначать радиус окружности как r.
\[RP^2 = r^2 - \left(\frac{r}{2}\right)^2\]
\[RP^2 = r^2 - \frac{r^2}{4}\]
\[RP^2 = \frac{3r^2}{4}\]
Теперь найдем значение RP, возведя обе части уравнения в степень 0.5 (корень квадратный):
\[RP = \sqrt{\frac{3r^2}{4}}\]
\[RP = \frac{\sqrt{3}r}{2}\]
Подставим значение радиуса окружности r = 12 см:
\[RP = \frac{\sqrt{3} \cdot 12}{2}\]
\[RP = \frac{12\sqrt{3}}{2}\]
\[RP = 6\sqrt{3}\]
Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды, соединяющей концы двух радиусов, равно \(6\sqrt{3}\) см.
2. Чтобы доказать, что хорда, проведенная из одной точки окружности и образующая угол 60 градусов с диаметром, равна радиусу окружности, мы можем использовать свойства центрального угла и свойства хорд.
Пусть между диаметром и хордой имеется точка А, а центр окружности обозначается буквой O, а радиус окружности - r.
Так как диаметр является прямой, угол между диаметром и хордой АО равен 180 градусам. Согласно свойствам центральных углов, угол между диаметром и хордой равен углу, заключенному на дуге АО.
Поскольку хорда АО образует угол 60 градусов с диаметром, угол, заключенный на дуге АО, также равен 60 градусам.
Теперь рассмотрим треугольник АОВ. Угол между сторонами ОА и ОВ равен 60 градусам, а еще у нас есть угол ОАО, равный 60 градусам (он равен углу, заключенному на дуге АО).
Таким образом, треугольник АОВ - равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому АВ = ОА = r.
Таким образом, мы доказали, что хорда, проведенная из одной точки окружности и образующая угол 60 градусов с диаметром, равна радиусу окружности.