1. Яке відстань від центра кола до хорди, яка сполучає кінці двох радіусів, якщо між цими радіусами кут дорівнює

  • 58
1. Яке відстань від центра кола до хорди, яка сполучає кінці двох радіусів, якщо між цими радіусами кут дорівнює 120 градусів, а радіус кола - 12 см?
2. Як довести, що хорда, проведена з однієї точки кола, яка утворює кут 60 градусів з діаметром кола, дорівнює радіусу кола?
Vechnyy_Put
8
1. Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства треугольника, хорды и радиусов окружности.

Пусть Р и Q - это крайние точки хорды, которая соединяет концы двух радиусов, а O - центр окружности. Поскольку угол между радиусами равен 120 градусам, то треугольник POQ - равносторонний, так как все его углы равны 60 градусам.

Теперь давайте взглянем на треугольник RPO. Радиус OP является высотой треугольника, а сторона PO равна половине длины хорды. Мы хотим найти расстояние от O до хорды PQ.

Можем заметить, что треугольник RPO также является прямоугольным треугольником. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения высоты треугольника:

\[RP^2 = RO^2 - OP^2\]

Так как треугольник POQ - равносторонний, то сторона PO равна радиусу окружности. Будем обозначать радиус окружности как r.

\[RP^2 = r^2 - \left(\frac{r}{2}\right)^2\]

\[RP^2 = r^2 - \frac{r^2}{4}\]

\[RP^2 = \frac{3r^2}{4}\]

Теперь найдем значение RP, возведя обе части уравнения в степень 0.5 (корень квадратный):

\[RP = \sqrt{\frac{3r^2}{4}}\]

\[RP = \frac{\sqrt{3}r}{2}\]

Подставим значение радиуса окружности r = 12 см:

\[RP = \frac{\sqrt{3} \cdot 12}{2}\]

\[RP = \frac{12\sqrt{3}}{2}\]

\[RP = 6\sqrt{3}\]

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды, соединяющей концы двух радиусов, равно \(6\sqrt{3}\) см.

2. Чтобы доказать, что хорда, проведенная из одной точки окружности и образующая угол 60 градусов с диаметром, равна радиусу окружности, мы можем использовать свойства центрального угла и свойства хорд.

Пусть между диаметром и хордой имеется точка А, а центр окружности обозначается буквой O, а радиус окружности - r.

Так как диаметр является прямой, угол между диаметром и хордой АО равен 180 градусам. Согласно свойствам центральных углов, угол между диаметром и хордой равен углу, заключенному на дуге АО.

Поскольку хорда АО образует угол 60 градусов с диаметром, угол, заключенный на дуге АО, также равен 60 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник АОВ. Угол между сторонами ОА и ОВ равен 60 градусам, а еще у нас есть угол ОАО, равный 60 градусам (он равен углу, заключенному на дуге АО).

Таким образом, треугольник АОВ - равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому АВ = ОА = r.

Таким образом, мы доказали, что хорда, проведенная из одной точки окружности и образующая угол 60 градусов с диаметром, равна радиусу окружности.