1) Які відстані від точки M до площини квадрата і від точки M до вершини А у квадрата ABCD дорівнюють, якщо сторона

Медвежонок

33

1) Розв"яжемо першу задачу. Для цього використаємо теорему Піфагора.

Зауважимо, що точка M може знаходитись різними способами, але відстані будуть однакові. Нехай точка M знаходиться на стороні AB (сторона квадрата ABCD), де МА = МВ.

За теоремою Піфагора, відстань від точки M до площини квадрата ABCD можна знайти за допомогою наступної формули:
\[ d = \sqrt{AM^2 - AH^2}\]
де AM - відстань від точки M до A, AH - висота площини квадрата ABCD.

Довжина сторони квадрата ABCD дорівнює 4 см. Так як квадрат ABCD - квадрат, то його висота (AH) і довжина будуть дорівнювати 4 см.

\[ d = \sqrt{MA^2 - 4^2} = \sqrt{MA^2 - 16}\]

Оскільки МА = МВ, то можна записати \(MA = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2\) см.

\[ d = \sqrt{2^2 - 16} = \sqrt{4 - 16} = \sqrt{-12} \]

Результатом є \(-\sqrt{12}\) (відстань від точки M до площини квадрата ABCD). Негативне значення означає, що точка M знаходиться в площині квадрата, але з протилежного боку.

Так само можна обрахувати відстань від точки M до вершини A, використовуючи формулу \( d = \sqrt{AM^2 - AH^2}\). Присвоїмо точці М координати (х,у). А вершина квадрата А має координати (0,0).

Відстань можна знайти за відомими координатами точок:
\[ d = \sqrt{(х - 0)^2 + (у - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Так як АМ = MV = 2 см, то \( x^2 + y^2 = 2^2 \), тобто \( x^2 + y^2 = 4 \).

Отже, відстань від точки М до вершини А дорівнює \(\sqrt{4}\), або просто 2 см.

2) Перейдемо до другої задачі. Для ефективного розв"язання цієї задачі, ми використовуватимемо теорему синусів.

Задача передбачає відновлення третьої сторони трикутника ABC і обчислення відстані між прямими l і AB.

Згідно з теоремою синусів:
\[ \frac{AC}{\sin(\angle CAB)} = \frac{BC}{\sin(\angle CBA)} \]

Ми знаємо, що АВ = 13 см і АС = 5 см. Із цього випливає, що BC = AB - AC = 13 - 5 = 8 см.

Тепер нам потрібно знайти міру кута CAB. Звертаємось до властивостей прямокутного трикутника.

\[ \sin(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13} \]

Знайдемо тепер міру кута CBA.

\[ \sin(\angle CBA) = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{13} \]

Тепер ми можемо використовувати теорему синусів для знаходження відстані між прямими l і AB:

\[ d = \frac{AC}{\sin(\angle CAB)} = \frac{5}{\frac{5}{13}} = 13 \]

Отже, відстань між прямими l і AB дорівнює 13 см.

3) Ідемо до третьої задачі. Ми будемо використовувати теорему синусів і властивості прямокутного трикутника для вирішення цієї задачі.

Задача полягає в знаходженні відстані від точки B до площини OKM.

Спочатку ми повинні знайти довжину відрізка KM. За теоремою синусів:

\[ \frac{MK}{\sin(\angle MKB)} = \frac{KB}{\sin(\angle KMB)} \]

Ми знаємо, що \( MK = \sqrt{3} \) і \( \angle MKB = 30° \). Із цього випливає:

\[ \sin(\angle MKB) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \]

Тепер нам потрібно знайти міру кута KMB. Звертаємось до властивостей прямокутного трикутника.

\[ \sin(\angle KMB) = \frac{KM}{KB} \]

Ми поки що не знаємо KB, але ми можемо обчислити його, використовуючи властивості трикутника KMB.

\[ KB = \frac{MK}{\sin(\angle MKB)} \]

\[ KB = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3} \]

Тепер ми можемо знайти міру кута KMB:

\[ \sin(\angle KMB) = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \]

Тепер ми можемо використовувати теорему синусів для знаходження відстані від точки B до площини OKM:

\[ d = \frac{KM}{\sin(\angle MKB)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3} \]

Отже, відстань між точкою B і площиною OKM дорівнює \(2\sqrt{3}\) см.

4) Ми маємо рівнобедрений трикутник ABC у площині α, а площина α і площина β є перпендикулярними площинами.

За твердженням, яке нам дане, ми можемо стверджувати, що відрізок AB лежить у перпендикулярній площині β.

Таким чином, рівнобедрений трикутник ABC лежить у перпендикулярних площинах α і β, і сторона AB паралельна площині α, а сторона BC паралельна площині β.