1. Яким є графік залежності x(t) для рівняння руху гармонічного коливання x = 0,02 cos 100пt? Який буде зсув через 0,25

Bulka

21

1. Для рівняння руху гармонічного коливання \(x = 0,02 \cos(100\pi t)\), графік залежності \(x(t)\) буде мати вигляд косинусоїди.

Для знаходження зсуву через 0,25 с, підставимо \(t = 0,25\) у рівняння руху:
\[x(0.25) = 0.02 \cos(100\pi \cdot 0.25) = 0.02 \cos(25\pi)\]

Аналогічно, для знаходження зсуву через 1,25 с:
\[x(1.25) = 0.02 \cos(100\pi \cdot 1.25) = 0.02 \cos(125\pi)\]

Пояснюючи відповіді, можна сказати, що якщо \(t\) збільшити на \(T\), тобто \(t" = t + T\), аргумент косинуса відповідного члена теж збільшиться на \(2\pi\):
\[\cos(\omega t) = \cos(\omega (t + T))\]

І, отже, коли \(t\) збільшується на \(T\), функція косинуса повторює своє значення, отже, значення \(x(t)\) зсунеться, зберігаючи форму графіка.

2. Рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою \(A\) та періодом \(T\) має вигляд:
\[x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)\]

Задано, що амплітуда дорівнює 0,2 м, а період дорівнює 4 с. Тобто:
\[x(t) = 0.2 \cos\left(\frac{2\pi}{4}t\right) = 0.2 \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\]

Також задано, що початкова фаза дорівнює нулю, що означає, що \(x(0) = 0\). Це означає, що коли \(t = 0\), косинусова функція має значення 1.

Графік цього руху буде мати вигляд:

\[Graph will be here.\]

3. Максимальне прискорення відбувається, коли точка перебуває на крайніх положеннях коливання. З геометричних міркувань відомо, що прискорення обертається на \(180^\circ\) порівняно зі зміщенням. Тобто, коли \(x(t) = A\), прискорення дорівнює \(-\omega^2 A\).

Задано період коливань \(T = 2\) с. Це означає, що частота коливань дорівнює \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\) рад/с.

Задано зміщення точки від положення рівноваги \(x(0) = -25\) мм. Переводимо зміщення в метри, \(x(0) = -0.025\) м.

Отже, максимальне прискорення можна виразити за допомогою рівняння:
\[a(t) = -\omega^2 x(t) = -(\pi)^2 (-0.025) \cos(\pi t)\]

4. Відформулюйте точніше запитання про формулу для рівняння коливального руху точки, яке було задане.