1) Яким є периметр прямокутного трикутника, якщо радіус кола, вписаного у нього, дорівнює 1 см і його катети мають

Дождь

14

Давайте розглянемо кожну задачу по черзі:

1) Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою, яка пов"язує радіус вписаного кола зі сторонами прямокутного трикутника. Ця формула виглядає так:

$$r=\frac{a+b-c}{2}$$,

де $r$ - радіус вписаного кола, $a$ і $b$ - катети прямокутного трикутника, $c$ - гіпотенуза прямокутного трикутника.

Ми знаємо, що $r=1$ см, $a=3$ см і $b=4$ см. Підставимо ці значення в формулу:

$$1=\frac{3+4-c}{2}$$.

Розв"яжемо це рівняння для $c$:

$$2=7-c\Rightarrow c=7-2=5$$.

Тепер, коли ми знаємо значення гіпотенузи $c$, ми можемо обчислити периметр прямокутного трикутника, який відповідає сумі довжини всіх його сторін:

$$периметр=a+b+c=3+4+5=12$$ см.

Отже, периметр прямокутного трикутника дорівнює 12 см.

2) Щоб розв"язати цю задачу, нам потрібно знати властивість, яка стверджує, що в равнобедреному трикутнику лінія, що проведена з вершини кута спочатку до основи, така як і відстань від центра вписаного кола до основи, ділить основу на дві рівні частини. Таким чином, ми маємо наступну рівність:

$$\frac{b}{2}=r\cdot \tan \left(\frac{A}{2}\right)$$,

де $b$ - довжина основи трикутника, $r$ - радіус вписаного кола, $A$ - міра вершинного кута трикутника.

Ми знаємо, що $A=60º$ і $OD=9,8$ см. Підставимо ці значення в формулу:

$$\frac{b}{2}=9,8\cdot \tan \left(\frac{60º}{2}\right)$$.

Обчислимо значення тангенса половини кута:

$$\tan \left(\frac{60º}{2}\right)=\tan \left(30º\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Підставимо це значення до рівняння:

$$\frac{b}{2}=9,8\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Отже, ми отримаємо:

$$b=2\cdot 9,8\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=19,6\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 11,34$$.

Тому довжина основи трикутника становить приблизно 11,34 см.

Довжина радіуса в запитаному колі дорівнює половині довжини основи, тобто $r=\frac{11,34}{2}=5,67$ см.

3) Ця задача вимагає використання властивостей рівнобедреного трикутника з вписаним колом.

Ми знаємо, що периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см. Припустимо, що довжина рівних бічних сторін трикутника дорівнює $x$ см, а основа трикутника має довжину $y$ см.

За властивостями рівнобедреного трикутника з вписаним колом, ми знаємо, що довжина основи трикутника дорівнює $2r$, де $r$ - радіус вписаного кола. Тому $y=2r=2\cdot \frac{x}{7}=\frac{2x}{7}$.

Далі, за властивістю трикутника з вписаним колом, ми знаємо, що трикутник і його вписане коло співвідносяться за наступною формулою:

$$периметр=2r+2x=36$$.

Підставимо в це рівняння значення $2r$ і $y$:

$$2\cdot \frac{2x}{7}+2x=36$$.

Розв"яжемо це рівняння для $x$:

$$\frac{4x}{7}+2x=36\Rightarrow \frac{4x+14x}{7}=36\Rightarrow \frac{18x}{7}=36$$.

Тепер, щоб знайти значення $x$, ми можемо помножити обидві частини рівняння на 7 і поділити на 18:

$$x=\frac{36\cdot 7}{18}=\frac{126}{9}=14$$.

Значить, довжина рівних бічних сторін трикутника дорівнює 14 см, а довжина основи трикутника дорівнює $y=\frac{2x}{7}=\frac{2\cdot 14}{7}=4$ см.

Отже, сторони рівнобедреного трикутника мають наступні довжини: 14 см, 14 см і 4 см.