1) Яким є периметр прямокутного трикутника, якщо радіус кола, вписаного у нього, дорівнює 1 см і його катети мають

Дождь

14

Давайте розглянемо кожну задачу по черзі:

1) Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою, яка пов"язує радіус вписаного кола зі сторонами прямокутного трикутника. Ця формула виглядає так:

\[r = \frac{{a + b - c}}{2}\],

де \(r\) - радіус вписаного кола, \(a\) і \(b\) - катети прямокутного трикутника, \(c\) - гіпотенуза прямокутного трикутника.

Ми знаємо, що \(r = 1\) см, \(a = 3\) см і \(b = 4\) см. Підставимо ці значення в формулу:

\[1 = \frac{{3 + 4 - c}}{2}\].

Розв"яжемо це рівняння для \(c\):

\[2 = 7 - c \Rightarrow c = 7 - 2 = 5\].

Тепер, коли ми знаємо значення гіпотенузи \(c\), ми можемо обчислити периметр прямокутного трикутника, який відповідає сумі довжини всіх його сторін:

\[периметр = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12\] см.

Отже, периметр прямокутного трикутника дорівнює 12 см.

2) Щоб розв"язати цю задачу, нам потрібно знати властивість, яка стверджує, що в равнобедреному трикутнику лінія, що проведена з вершини кута спочатку до основи, така як і відстань від центра вписаного кола до основи, ділить основу на дві рівні частини. Таким чином, ми маємо наступну рівність:

\[\frac{{b}}{{2}} = r \cdot \tan{\left(\frac{{A}}{2}\right)}\],

де \(b\) - довжина основи трикутника, \(r\) - радіус вписаного кола, \(A\) - міра вершинного кута трикутника.

Ми знаємо, що \(A = 60º\) і \(OD = 9,8\) см. Підставимо ці значення в формулу:

\[\frac{{b}}{{2}} = 9,8 \cdot \tan{\left(\frac{{60º}}{2}\right)}\].

Обчислимо значення тангенса половини кута:

\[\tan{\left(\frac{{60º}}{2}\right)} = \tan{\left(30º\right)} = \frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\].

Підставимо це значення до рівняння:

\[\frac{{b}}{{2}} = 9,8 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\].

Отже, ми отримаємо:

\[b = 2 \cdot 9,8 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{3}} = 19,6 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{3}} \approx 11,34\].

Тому довжина основи трикутника становить приблизно 11,34 см.

Довжина радіуса в запитаному колі дорівнює половині довжини основи, тобто \(r = \frac{{11,34}}{{2}} = 5,67\) см.

3) Ця задача вимагає використання властивостей рівнобедреного трикутника з вписаним колом.

Ми знаємо, що периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см. Припустимо, що довжина рівних бічних сторін трикутника дорівнює \(x\) см, а основа трикутника має довжину \(y\) см.

За властивостями рівнобедреного трикутника з вписаним колом, ми знаємо, що довжина основи трикутника дорівнює \(2r\), де \(r\) - радіус вписаного кола. Тому \(y = 2r = 2 \cdot \frac{{x}}{{7}} = \frac{{2x}}{{7}}\).

Далі, за властивістю трикутника з вписаним колом, ми знаємо, що трикутник і його вписане коло співвідносяться за наступною формулою:

\[периметр = 2r + 2x = 36\].

Підставимо в це рівняння значення \(2r\) і \(y\):

\[2 \cdot \frac{{2x}}{{7}} + 2x = 36\].

Розв"яжемо це рівняння для \(x\):

\[\frac{{4x}}{{7}} + 2x = 36 \Rightarrow \frac{{4x + 14x}}{{7}} = 36 \Rightarrow \frac{{18x}}{{7}} = 36\].

Тепер, щоб знайти значення \(x\), ми можемо помножити обидві частини рівняння на 7 і поділити на 18:

\[x = \frac{{36 \cdot 7}}{{18}} = \frac{{126}}{{9}} = 14\].

Значить, довжина рівних бічних сторін трикутника дорівнює 14 см, а довжина основи трикутника дорівнює \(y = \frac{{2x}}{{7}} = \frac{{2 \cdot 14}}{{7}} = 4\) см.

Отже, сторони рівнобедреного трикутника мають наступні довжини: 14 см, 14 см і 4 см.