Определите значение косинуса угла между векторами n; mдля m {3; -4}, n {15

Ledyanaya_Pustosh

55

Хорошо, давайте найдем значение косинуса угла между векторами \( \mathbf{n} \) и \( \mathbf{m} \). У нас есть значения векторов: \( \mathbf{m} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix} \) и \( \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 15 \\ -8 \end{bmatrix} \).

Для начала, давайте найдем скалярное произведение этих векторов. Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \) и \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \]

Применяя эту формулу к нашим векторам, получим:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 15 \cdot 3 + (-8) \cdot (-4) \]

Решим это уравнение:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 45 + 32 = 77 \]

Теперь нам нужно найти длины векторов \( \mathbf{n} \) и \( \mathbf{m} \). Длина вектора \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \) вычисляется по формуле:

\[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \]

Применяя эту формулу к нашим векторам, получим:

Для вектора \( \mathbf{m} \):

\[ ||\mathbf{m}|| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Для вектора \( \mathbf{n} \):

\[ ||\mathbf{n}|| = \sqrt{15^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления косинуса угла между векторами.

Формула для вычисления косинуса угла \( \theta \) между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) выглядит следующим образом:

\[ \cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}||}} \]

Применяя эту формулу к нашим векторам, получим:

\[ \cos(\theta) = \frac{{\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}}}{{||\mathbf{n}|| \cdot ||\mathbf{m}||}} = \frac{{77}}{{17 \cdot 5}} \]

Выполняем вычисление:

\[ \cos(\theta) = \frac{{77}}{{85}} \]

Ответ: Косинус угла между векторами \( \mathbf{n} \) и \( \mathbf{m} \) равен \( \frac{{77}}{{85}} \).