1. Яку довжину має висота похилої призми, якщо її бічне ребро становить 2 см і нахилене під кутом 45 градусів

Винни

70

Задача 1:
Дано: бічне ребро призми - 2 см, кут нахилу до площини основи - 45°.

Для розв"язання цієї задачі, нам знадобиться скористатися тригонометрією. Нехай \(h\) - шукана довжина висоти похилої призми.

Ми можемо скласти прямокутний трикутник з бічним ребром призми, висотою трикутника та гіпотенузою. Відповідно, ми можемо застосувати тригонометричний тангенс до цього трикутника:

\(\tan(45°) = \frac{h}{2}\).

Розкриваємо тангенс 45°:

1 = \(\frac{h}{2}\).

Множимо обидві сторони рівняння на 2:

2 = \(h\).

Отже, довжина висоти похилої призми дорівнює 2 см.

Задача 2:
Дано: діагональ бічної грані - а, кут між діагоналлю та площиною основи - альфа.

Для розв"язання цієї задачі, ми можемо скласти прямокутний трикутник з діагоналлю бічної грані, одним з бічних ребер трикутника та гіпотенузою. Нехай \(l\) - шукана довжина бічного ребра призми.

Використовуючи теорему Піфагора, ми отримуємо наступне співвідношення:

\(l^2 = a^2 + h^2\).

Також ми застосовуємо тригонометрію до куту альфа:

\(\sin(\alpha) = \frac{h}{a}\).

Розкриваємо синус виразу:

\(\frac{h}{a} = \sin(\alpha)\).

Вираз h можна виразити таким чином:

\(h = a \cdot \sin(\alpha)\).

Підставляємо це в попереднє співвідношення:

\(l^2 = a^2 + (a \cdot \sin(\alpha))^2\).

Розкриваємо квадрат виразу:

\(l^2 = a^2 + a^2 \cdot \sin^2(\alpha)\).

Складаємо підібрані вирази разом:

\(l^2 = a^2 \cdot (1 + \sin^2(\alpha))\).

Скористаємося тригонометричною ідентичністю: \(\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)\):

\(l^2 = a^2 \cdot (1 + (1 - \cos^2(\alpha)))\).

Скористаємося тригонометричною ідентичністю: \(\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)\):

\(l^2 = a^2 \cdot (1 + (1 - \cos^2(\alpha)))\).

Скористаємося тригонометричною ідентичністю: \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\):

\(l^2 = a^2 \cdot (1 + (1 - (1 - \sin^2(\alpha))))\).

Скористаємося тригонометричною ідентичністю: \(\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)\):

\(l^2 = a^2 \cdot (1 + (1 - (1 - \cos^2(\alpha))))\).

Скористаємося тригонометричною ідентичністю: \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\):

\(l^2 = a^2 \cdot (1 + (1 - (1 - \cos^2(\alpha))))\).

Остаточно отримуємо наступне співвідношення для довжини бічного ребра призми:

\(l^2 = a^2 \cdot (2 - \cos^2(\alpha))\).

Щоб визначити довжину бічного ребра призми, достатньо взяти квадратний корінь від обох сторін рівняння:

\[l = \sqrt{a^2 \cdot (2 - \cos^2(\alpha))}\].

Отже, довжина бічного ребра правильної трикутної призми дорівнює \(\sqrt{a^2 \cdot (2 - \cos^2(\alpha))}\).