1. Запишите диапазон, в котором функции определены. 2. Найдите множество возможных значений функции. 3. Определите

Kedr

63

Задача 1:
1. Для определения диапазона, в котором функция определена, нужно рассмотреть область значений аргумента, при которых функция не является неопределенной. Обычно это происходит, когда знаменатель функции не равен нулю и не возникают другие запрещающие значения. Давайте рассмотрим заданную функцию более подробно:
\[f(x) = \sqrt{2x + 3}\].
Заметим, что в данном случае функция является квадратным корнем. Для того, чтобы квадратный корень был определен, выражение под ним (радикал) должно быть больше или равно нулю. Таким образом, мы получаем неравенство \(2x + 3 \geq 0\). Решим его:

\[
2x + 3 \geq 0 \implies 2x \geq -3 \implies x \geq -\frac{3}{2}
\]

Таким образом, функция определена при \(x \geq -\frac{3}{2}\). Это означает, что диапазон, в котором функция определена, можно записать в виде \([-3/2, +\infty)\).

2. Чтобы найти множество возможных значений функции, нужно рассмотреть все значимые значения выражения, которое задает функцию. В данном случае, у нас имеется квадратный корень, который будет равен или больше нуля. Следовательно, множество возможных значений будет включать все неотрицательные числа. Формально, это можно записать как \([0, +\infty)\).

3. Для определения монотонности функции, нужно изучить ее поведение при изменении аргумента. Давайте посмотрим на производную функции \(f(x) = \sqrt{2x+3}\):

\[
f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+3}}
\]

Мы видим, что производная всегда положительна, так как исходная функция представляет собой корень из выражения, и это означает, что функция монотонно возрастает.

4. Чтобы найти экстремумы функции, нужно рассмотреть точки, в которых функция может достигать максимального или минимального значения. Данная функция представляет собой квадратный корень, и так как корень всегда неотрицательный, то минимума у нее нет. Функция имеет только один максимум, который достигается в точке, где аргумент равен нулю. Таким образом, экстремумы функции отсутствуют.

Задача 2:
1. Для нахождения обратной функции для данной \(y = -5x + 4\), мы обмениваем местами \(x\) и \(y\) и решаем уравнение относительно \(y\):

\[
x = -5y + 4
\]

Теперь решим его, чтобы получить выражение для обратной функции \(y = f^{-1}(x)\):

\[
-5y = x - 4 \implies y = \frac{x - 4}{-5}
\]

Таким образом, обратной функцией для \(y = -5x + 4\) является \(y = \frac{x - 4}{-5}\).

Задача 3:
1. Для определения диапазона определения и множества возможных значений функции, для которой нужно найти обратную функцию \(y = \frac{1}{4}x - 7\), сначала рассмотрим диапазон определения. Здесь у нас не возникают преграждающих значений (например, нулевого знаменателя), так как знаменатель является константой, поэтому функция будет определена для всех возможных значений \(x\). Диапазон определения можно записать как \((-\infty, +\infty)\).

2. Чтобы найти множество возможных значений функции, мы можем рассмотреть ее график. Но в данном случае заметим, что функция представляет собой линейную функцию с положительным коэффициентом при \(x\). Таким образом, функция будет убывать при увеличении \(x\). Множество возможных значений будет включать все числа с отрицательной бесконечностью до значения, которое достигается при достижении минимального значения \(x\). Не зная ограничения данного значения в задаче, мы можем сказать, что множество возможных значений является \((-\infty, +\infty)\).