10. (1 б.) Якa висота циліндра, якщо в циліндрі проведено переріз на відстані 8 см від осі його? Площа перерізу

Shumnyy_Popugay

49

10. Щоб знайти висоту циліндра, ми можемо скористатися формулою для площі перерізу циліндра. Відомо, що радіус основи циліндра дорівнює 10 см, а площа перерізу - 120 см². Формула для площі циліндра має вигляд \(\pi r^2\), де \(\pi\) дорівнює приблизно 3.14 і \(r\) - радіус.

Отже, знаходимо радіус перерізу:
\[r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{120}{3.14}} \approx 6.078\]

Тепер, щоб знайти висоту, можемо скористатися теоремою Піфагора, оскільки ми знаємо відстань від осі циліндра до перерізу:
\[h = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{6.078^2 - 8^2} \approx 4.643\]

Отже, висота циліндра приблизно дорівнює 4.643 см.

11. Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями \(y = 1 + 4x + x^2\) та \(y = 2 - x\), ми маємо знайти точки перетину цих двох функцій.

Спочатку прирівнюємо функції одна до одної:
\[1 + 4x + x^2 = 2 - x\]

Прирівнюємо до нуля і отримуємо квадратне рівняння:
\[x^2 + 5x - 1 = 0\]

Розв"язуємо це рівняння, наприклад, за допомогою квадратного тринома:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
де \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -1\)

Після обчислень отримуємо два корені: \(x_1 \approx -5.92\) та \(x_2 \approx 0.92\).

Використовуючи ці значення \(x\), знаходимо значення \(y\) для кожної функції:
\begin{align*}
y_1 &= 1 + 4x + x^2 \\
y_1 &\approx 16.68 \text{ для } x_1 \text{ та } y_1 \approx 2.68 \text{ для } x_2 \\
y_2 &= 2 - x \\
y_2 &\approx -3.92 \text{ для } x_1 \text{ та } y_2 \approx 1.08 \text{ для } x_2
\end{align*}

Таким чином, точки перетину цих двох функцій мають координати:
\[(x_1, y_1) \approx (-5.92, 16.68) \quad \text{та} \quad (x_2, y_2) \approx (0.92, 1.08)\]

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої цими лініями. Це можна зробити шляхом обчислення площі під кривою \(y = 1 + 4x + x^2\) і віднімання від неї площі під лінією \(y = 2 - x\) від \(x = x_1\) до \(x = x_2\). Ми можемо використовувати відповідну формулу для обчислення площі між кривими:
\[S = \int_{x_1}^{x_2} (f_1(x) - f_2(x)) dx\]

Обчислюючи цей інтеграл, отримуємо:
\[S = \int_{-5.92}^{0.92} ((1 + 4x + x^2) - (2 - x)) dx \approx 6.868\]

Отже, площа фігури, обмеженої цими лініями, приблизно дорівнює 6.868.

12. Щоб знайти довжину відрізка з однією точкою \(V(5, 3, 7)\) яка є серединою відрізка, а кінці відрізка знаходяться на осі \(OZ\) і в площині \(XOY\), нам потрібно знайти координати іншої точки відрізка.

Оскільки \(V\) є серединою відрізка, то точка \(A\) належить осі \(OZ\) і точка \(B\) лежить в площині \(XOY\).

Координати точки \(A\) будуть \(A(0, 0, z)\), де \(z\) - невідома висота точки \(A\).

Координати точки \(B\) будуть \((x, y, 0)\), де \(x\) і \(y\) - невідомі координати цієї точки в площині \(XOY\).

Оскільки \(V\) є серединою відрізка, то середнє значення кожного компонента точки \(V\) рівне середньому значенню відповідних компонент точок \(A\) і \(B\):

\[\frac{x + 0}{2} = 5, \quad \frac{y + 0}{2} = 3, \quad \frac{z + 0}{2} = 7\]

Після обчислень отримуємо \(x = 10\), \(y = 6\) і \(z = 14\).

Тепер, за допомогою формули відстані між двома точками в тривимірному просторі, ми можемо обчислити довжину відрізка \(AB\):

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} = \sqrt{(10 - 0)^2 + (6 - 0)^2 + (14 - 0)^2} = \sqrt{296} \approx 17.204\]

Отже, довжина відрізка \(AB\) приблизно дорівнює 17.204.

13. Щоб вирішити нерівність \(\left(\frac{1}{5}\right)^x + x - 2^3 > 0\), ми можемо проаналізувати знаки функцій, що задають цю нерівність.

Почнемо з першого доданка. \(\left(\frac{1}{5}\right)^x\) буде додатнім, коли \(x\) є додатним, і від"ємним, коли \(x\) є від"ємним.

Другий доданок \(x\) може бути будь-яким числом.

Третій доданок \(2^3\) дорівнює 8, що є додатнім числом.

Тож, щоб нерівність \(\left(\frac{1}{5}\right)^x + x - 2^3 > 0\) була задоволена, нам потрібно, щоб сума доданків була додатньою.

Це буде так, якщо \(x\) є від"ємним числом. Тому розв"язком даної нерівності будуть всі від"ємні значення \(x\).

Відповідь: \(x < 0\).