Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, площадь которого равна 450√3, а один из острых углов равен 30°?

Лебедь

19

Конечно, я могу помочь вам решить эту задачу.

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник. У нас есть известные данные:
- Площадь треугольника равна 450√3.
- Один из острых углов равен 30°.

Так как треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, которая связывает длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Первым шагом найдем длину одного из катетов. Пусть \(a\) - длина катета, соответствующего 30° углу. Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин катетов:
\[S = \frac{1}{2}ab\]
Подставим известные значения:
\(450\sqrt{3} = \frac{1}{2}a \cdot a\)
\(900\sqrt{3} = a^2\)
Теперь найдем \(a\):
\(a = \sqrt{900\sqrt{3}} = 30\sqrt{3}\)

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы \(c\):
\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[c^2 = (30\sqrt{3})^2 + b^2\]
\[c^2 = 900\cdot3 + b^2\]
\[c^2 = 2700 + b^2\]

Для нахождения длины гипотенузы, нам необходимо найти длину второго катета \(b\). Здесь нам поможет синус угла 30°:
\(\sin(30°) = \frac{b}{c}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{b}{c}\)
\(b = \frac{c}{2}\)

Подставим это значение для \(b\) в уравнение для длины гипотенузы:
\[c^2 = 2700 + (\frac{c}{2})^2\]

Теперь решим это уравнение:
\[c^2 = 2700 + \frac{c^2}{4}\]
\[4c^2 = 10800 + c^2\]
\[3c^2 = 10800\]
\[c^2 = 3600\]
\[c = \sqrt{3600} = 60\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 60.