10. Имеют ли плоскости (BCD1) и (B1C1D1) одну общую точку в кубе ABCDA, и какая линия проходит через эту точку?

Marat

64

Для того чтобы выяснить, имеют ли плоскости (BCD1) и (B1C1D1) одну общую точку в кубе ABCDA, давайте разберемся, что такое эти плоскости и как они соотносятся друг с другом.

В данной задаче, плоскость (BCD1) образуется гранью BCD и диагональю AD1 куба ABCDA, а плоскость (B1C1D1) образуется гранью B1C1D1 куба ABCDA.

Чтобы узнать, имеют ли эти плоскости общую точку, нужно проверить, пересекаются ли они. Пусть точка P является общей точкой данных плоскостей.

Если эти плоскости пересекаются, то точка P должна принадлежать обеим плоскостям. Для этого нужно проверить, соотношение координат точки P в каждой плоскости.

Возьмем точку P(x, y, z). В плоскости (BCD1), у нас имеются точки B(0, 0, 0), C(1, 0, 0), D(1, 1, 0) и D1(0, 1, 1).

Уравнение плоскости (BCD1) можно задать с помощью векторного произведения векторов \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

\(\overrightarrow{BD} = \langle 1-0, 1-0, 0-0 \rangle = \langle 1, 1, 0 \rangle\),
\(\overrightarrow{BC} = \langle 1-0, 0-0, 0-0 \rangle = \langle 1, 0, 0 \rangle\).

Тогда уравнение плоскости (BCD1) будет:

\(x - 0 + y - 0 + 0 = 0\),
\(x + y = 0\).

Теперь рассмотрим плоскость (B1C1D1) с точками B1(1, 0, 1), C1(0, 0, 1), D1(0, 1, 1).

Уравнение плоскости (B1C1D1) можно получить аналогичным способом:

\(\overrightarrow{B1D1} = \langle 0-1, 1-0, 1-1 \rangle = \langle -1, 1, 0 \rangle\),
\(\overrightarrow{B1C1} = \langle 0-1, 0-0, 1-1 \rangle = \langle -1, 0, 0 \rangle\).

Тогда уравнение плоскости (B1C1D1) будет:

\(-x + 0 + y - 0 + 0 = 0\),
\(-x + y = 0\).

Теперь мы имеем два уравнения плоскостей (BCD1) и (B1C1D1):

\(x + y = 0\),
\(-x + y = 0\).

Решим эту систему уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения получаем \(x = -y\), подставим это во второе уравнение:

\(-(-y) + y = 0\),
\(y + y = 0\),
\(2y = 0\),
\(y = 0\).

Тогда, подставим полученное значение y в любое из уравнений:

\(x + 0 = 0\),
\(x = 0\).

Таким образом, получаем, что точка P(0, 0, 0) будет общей точкой плоскостей (BCD1) и (B1C1D1).

Теперь, чтобы определить, какая линия проходит через эту точку, нам необходимо проанализировать структуру куба ABCDA и понять, какие ребра и диагонали проходят через эту точку.

В данном случае, точка P(0, 0, 0) является началом координат, то есть точкой A. Линия, которая проходит через точку P, будет совпадать с ребром AB куба ABCDA.

Таким образом, линия, проходящая через общую точку плоскостей (BCD1) и (B1C1D1), будет совпадать с ребром AB куба ABCDA.