10. Сколько слов длины 6, составленных из букв {a, b, c, d}, в которых буква a встречается на один раз больше

Vechnyy_Son

46

Конечно! Давайте решим эти задачи по очереди.

10. Чтобы решить эту задачу, мы можем разделить условие на несколько случаев:

- Слово состоит из 4 букв a и 2 букв b. Количество таких слов может быть вычислено по формуле сочетаний: \(\binom{6}{4} = 15\).
- Слово состоит из 3 букв a и 2 букв b. Опять же, мы можем использовать формулу сочетаний: \(\binom{5}{3} = 10\).
- Слово состоит из 2 букв a и 1 буквы b. Имеющиеся буквы образуют слова "aaab", "aaba" и "abaa". Всего 3 слова.

Сложив все варианты вместе, получим общее количество слов длины 6, удовлетворяющих условию - 15 + 10 + 3 = 28.

11. У нас есть две буквы a и b, которые должны встречаться в слове одинаковое количество раз. Это означает, что мы можем разделить 7 позиций между этими буквами на равные части. Поскольку у нас есть 4 возможных буквы, расположенные на этих позициях, каждая позиция будет содержать по \(\frac{7}{4} = 1.75\) буквы. Однако, поскольку мы говорим о количестве слов, нам необходимо учесть только целочисленные значения. Исходя из этого, мы можем разместить 2 буквы a и 2 буквы b с тремя возможными "нарушениями" равномерности распределения. Используя формулу сочетаний, получим \(\binom{7}{2} = 21\) способы составления таких слов.

12. Здесь нам нужно, чтобы буква a встречалась столько же раз, как буквы b и c вместе взятые. Разделим данную задачу на случаи:

- Слово состоит из 4 букв a и по одной букве b и c. Количество таких слов можно вычислить по формуле сочетаний: \(\binom{6}{4} = 15\).
- Слово состоит из 2 букв a и по две буквы b и c. Варианты размещения букв - "aabbcc" и "aabcbc". Итого 2 варианта.

Суммируем полученные варианты: 15 + 2 = 17.

13. Данное условие можно рассматривать раздельно для каждой буквы. Используя формулу сочетаний, количество слов, в которых буква a встречается дважды и буква b появляется не менее трех раз, можно вычислить как \(\binom{8}{2} \cdot \binom{6}{3} = 28 \cdot 20 = 560\).

14. Дана буква a и нам нужно найти количество слов длины 5, составленных из букв {a, b, c, d}. Поскольку в каждой позиции слова мы можем использовать любую из этих четырех букв, общее количество вариантов равно \(4^5 = 1024\).

Вот и все решения! Если возникнут еще вопросы или потребуется еще подробностей, пожалуйста, дайте знать!