16 Значение радиуса вписанной в квадрат окружности равно 43√2. Какова длина диагонали этого квадрата?

Sladkiy_Pirat_1378

63

Решение:

Задача 16:
Пусть \( r \) - радиус окружности, которая вписана в данный квадрат.
Так как окружность вписана в квадрат, то радиус окружности будет равен половине диагонали квадрата.
Поэтому у нас есть соотношение:

\[ r = \frac{d}{2} \]

где \( d \) - диагональ квадрата.

По условию задачи, значение радиуса вписанной окружности равно \( 43\sqrt{2} \), поэтому:

\[ r = 43\sqrt{2} \]

Подставив это значение в уравнение, получаем:

\[ 43\sqrt{2} = \frac{d}{2} \]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ 86\sqrt{2} = d \]

Таким образом, длина диагонали квадрата равна \( 86\sqrt{2} \).

Ответ: Длина диагонали этого квадрата равна \( 86\sqrt{2} \).

Задача 17:
Для решения этой задачи мы можем использовать соотношение между сторонами треугольника и его площадью.

По определению прямоугольного треугольника, один из острых углов равен 45 градусов. Это означает, что две другие стороны треугольника являются равными и обозначим их за \( a \) и \( b \).

По свойству прямоугольного треугольника, гипотенуза равна сумме квадратов катетов. В нашем случае это:

\[ 34^2 = a^2 + b^2 \]

Решим эту уравнение относительно одного из катетов.
Из уравнения гипотенузы:

\[ a^2 = 34^2 - b^2 \]

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставив значение \( a^2 \) в данную формулу, получим:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (34^2 - b^2) \cdot b \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (1156 - b^2) \cdot b \]

Далее упростим это выражение:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (1156b - b^3) \]

Теперь нам нужно найти максимальную площадь треугольника, для этого возьмем производную от \( S \) по \( b \) и приравняем ее к нулю:

\[ \frac{dS}{db} = 0 \]

\[ 1156 - 3b^2 = 0 \]

Решая это уравнение, получаем:

\[ b^2 = \frac{1156}{3} \]

\[ b \approx 19.14 \]

Подставив это значение \( b \) обратно в уравнение гипотенузы, найдем \( a \):

\[ a^2 = 34^2 - b^2 \]

\[ a^2 \approx 772.84 \]

\[ a \approx 27.81 \]

Таким образом, получаем стороны треугольника: \( a \approx 27.81 \) и \( b \approx 19.14 \).

Теперь вычислим площадь треугольника, используя формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

\[ S \approx \frac{1}{2} \cdot 27.81 \cdot 19.14 \]

\[ S \approx 266.52 \]

Ответ: Площадь данного треугольника равна примерно 266.52.