18. Какое расстояние от точки, где отрезок касательной проведен до окружности равен 4 см, до центра этой окружности?

Соня

54

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание геометрии и свойств окружностей.

Первое, что нужно усвоить, это то, что касательная, проведенная к окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Из этого свойства следует, что любой отрезок, проведенный от точки на окружности до центра, будет радиусом окружности.

В нашей задаче говорится, что расстояние от точки касательной до окружности равно 4 см. Если мы проведём от этой точки радиус к центру, получим треугольник с гипотенузой, равной 4 см.

Такой треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника по линии, проведенной из центра окружности. Так как два прямоугольных треугольника являются подобными, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину радиуса окружности.

Пусть \(x\) - длина радиуса окружности. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике имеем:

\[x^2 = (\text{гипотенуза})^2 - (\text{катет})^2\]

Так как гипотенуза равна 4 см, а катет равен \(x\), можем записать:

\[x^2 = 4^2 - x^2\]

Раскрывая скобки, получаем:

\[x^2 = 16 - x^2\]

Добавляем \(x^2\) к обеим сторонам уравнения:

\[2x^2 = 16\]

Деля обе стороны уравнения на 2, получаем:

\[x^2 = 8\]

Чтобы найти значение \(x\), возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[x = \sqrt{8}\]

Раскрывая корень, получаем:

\[x = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, радиус окружности равен \(2\sqrt{2}\) см. Ответ: D) \(2\sqrt{2}\) см.