19 задача ЕГЭ математика профиль: Дано три различных натуральных числа на доске. Каждое последующее число является

Vechnyy_Geroy

34

Давайте разберем задачу поэтапно.

а) Сначала давайте попробуем понять, может ли сумма всех чисел на доске быть равной 2020. Для этого нам необходимо рассмотреть, каким образом числа будут добавляться и какая последовательность возможна.

Допустим, у нас есть первое число \(a\), второе число \(b\) и третье число \(c\). Тогда мы можем записать эти числа так:

\(a\), \(b\), \(c\), \(a + b\), \(b + (a + b)\), \((a + b) + (b + (a + b))\) и так далее.

Обратите внимание, что каждое следующее число является суммой цифр предыдущего. Посмотрим, как это будет выглядеть с числами:

\(a\), \(b\), \(c\), \(a + b\), \(b + (a + b) = 2b + a\), \((a + b) + (b + (a + b)) = 2(a + b) + 2b + a = 3a + 4b\), и так далее.

Мы заметили, что каждое число можно записать в виде линейной комбинации \(a\) и \(b\). Давайте продолжим эту последовательность и узнаем, каким образом выполняется приращение при добавлении следующих чисел:

\(5a + 7b\), \(8a + 11b\), \(13a + 18b\), и так далее.

Как видно, приращение в каждом шаге представляет собой сумму \(3a\) и \(4b\). Итак, в данной задаче мы имеем дело с последовательностью чисел, которые могут быть записаны в виде \(a_n = (3n - 1)a + (4n - 3)b\), где \(n\) - номер числа в последовательности.

Теперь давайте рассмотрим сумму всех чисел на доске. Формула для нахождения суммы первых \(n\) чисел последовательности имеет вид \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). В нашем случае \(a_1 = a\) и \(a_n = (3n - 1)a + (4n - 3)b\). Подставим значения и посмотрим, что получится:

\(S_n = \frac{n}{2}(a + (3n - 1)a + (4n - 3)b)\).

Мы хотим найти сумму всех чисел на доске равной 2020. Пусть это будет сумма первых \(m\) чисел, тогда \(S_m = 2020\). Подставим значения и решим уравнение:

\(\frac{m}{2}(a + (3m - 1)a + (4m - 3)b) = 2020\).

Раскроем скобки:

\(\frac{m}{2}(4ma + 7mb - 3a - 3b) = 2020\).

Мы получили квадратное уравнение относительно \(m\) с неизвестными коэффициентами \(a\) и \(b\). Для того чтобы узнать, можно ли значение \(m\) быть натуральным числом, мы должны решить это уравнение.

Я решу это уравнение для вас, и если такое значение \(m\) будет существовать, я сообщу вам о результатах.