1От точки К до прямой АВ проведены перпендикулярные отрезки KL и KM. Сумма длин перпендикуляра и наклонной составляет

Baron

42

Решение:

1. Пусть длина отрезка \( KL\) равна \( x\), а длина отрезка \( KM\) равна \( y\). Учитывая условие задачи, имеем следующую систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 15 \\
x - y = 1
\end{cases}
\]
Решая данную систему, найдем значения \( x\) и \( y\):
Прибавим обе стороны первого уравнения ко второму:
\[
x + y + x - y = 15 + 1 \implies 2x = 16 \implies x = 8
\]
Подставим найденное значение \( x\) в первое уравнение:
\[
8 + y = 15 \implies y = 7
\]
Таким образом, длина отрезка \( KL\) равна 8 см, а длина отрезка \( KM\) равна 7 см. Теперь найдем расстояние от точки \( K\) до прямой \( AB\). Обозначим это расстояние как \( h\). Оно равно высоте треугольника \( KLM\) с гипотенузой \( KM\). Применим теорему Пифагора:
\[
h^2 = KM^2 - KL^2 = 7^2 - 8^2 = 49 - 64 = -15
\]
Таким образом, расстояние от точки \( K\) до прямой \( AB\) равно 15 см.

2. Расстояние от точки \( M\) до прямой \( AB\) равно длине отрезка \( MZ\), где \( Z\) - проекция точки \( M\) на прямую \( AB\). Треугольник \( KMZ\) прямоугольный, поэтому можем использовать подобие треугольников для нахождения длины отрезка \( MZ\): \(\frac{MZ}{KM} = \frac{KZ}{KL}\). Таким образом, \(\frac{MZ}{7} = \frac{8}{15}\), откуда \(MZ = \frac{8 \cdot 7}{15} = \frac{56}{15}\) см.

3. Предположим, что точка \( P\) - середина отрезка \( AB\), также равноудалена от его концов. Тогда рассмотрим треугольники \( KPA\) и \( KPB\). У них совпадают две стороны с равными углами, поэтому треугольники равны, а значит, длины их высот, проведенных из вершины \( K\), равны. Следовательно, любая точка на перпендикуляре, проходящем через середину отрезка, равноудалена от его концов.

4. Допустим, что есть две прямые, перпендикулярные данной прямой \( AB\) и не проходящие через данную точку. Обозначим их как \( l_1\) и \( l_2\). Так как обе перпендикуляры, проходящие через данную точку, являются высотами некого треугольника, и его основанием является прямая \( AB\), то эти высоты совпадают, а значит, прямые \( l_1\) и \( l_2\) совпадают. Из чего следует, что можно провести только одну прямую, удовлетворяющую условиям задачи.