1вариант.1. Какова площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы с ребром 3? 2. Каковы площадь

Янтарка

61

1. Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы можно найти, сложив площади всех ее граней. У нас есть одно основание - равносторонний треугольник - и 3 прямоугольные боковые грани, соответствующие боковым граням треугольника.

Площадь основания:
Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле \(S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где а - длина стороны треугольника.
В данном случае, длина стороны треугольника равна 3, поэтому площадь основания будет:
\[S_1 = \frac{{3^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Площадь боковой грани:
У треугольной призмы шесть боковых граней, из которых три грани имеют одинаковую площадь. Поэтому площадь одной боковой грани будет:
\[S_2 = a \cdot h\], где а - длина стороны треугольника, а h - высота треугольника.
Так как треугольник равносторонний, высота равна \(\frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot a\). Затем площадь боковой грани будет:
\[S_3 = 3 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot a \cdot a\]

Таким образом, площадь полной поверхности будет:
\[S_{\text{полная}} = S_1 + 3 \cdot S_3\]

2. Площадь поверхности цилиндра можно найти, складывая площади основания и боковой поверхности.

Площадь основания:
У нас есть осевое сечение в форме квадрата площадью 16. Соответственно, длина стороны этого квадрата будет \(\sqrt{16} = 4\), а значит, площадь основания будет \(S_1 = 4^2 = 16\).

Площадь боковой поверхности:
Боковая поверхность цилиндра - это прямоугольный треугольник со сторонами, равными окружности цилиндра и его высоте. Так как осевое сечение имеет форму квадрата, сторона этого квадрата равна диаметру окружности, то есть \(4 \cdot \sqrt{\pi}\).
Высоту цилиндра мы не знаем, поэтому обозначим ее через \(h\).
С использованием теоремы Пифагора, можно найти высоту цилиндра: \(h = \sqrt{(4 \cdot \sqrt{\pi})^2 - 4^2} = \sqrt{16 \pi - 16}\).
Тогда площадь боковой поверхности будет \(S_2 = (4 \cdot \sqrt{\pi}) \cdot \sqrt{16 \pi - 16}\).

Таким образом, площадь поверхности цилиндра будет:
\[S_{\text{поверхности}} = S_1 + S_2\]

3. Объем пирамиды можно найти, используя формулу \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

У нас диагональное сечение является правильным треугольником со стороной длиной 1. Площадь этого треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.
В данном случае, длина стороны треугольника равна 1, поэтому площадь основания будет:
\(S = \frac{{1^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{\sqrt{3}}}{4}\).

Так как треугольник равносторонний, можно найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора:
\[h = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\].

Теперь можем найти объем пирамиды:
\(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

4. Чтобы найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через три точки на его поверхности, воспользуемся формулой для объема тетраэдра.
Так как все расстояния известны, мы можем использовать формулу \(V = \frac{1}{6} \cdot (a \cdot b \cdot c)\), где \(a\), \(b\), \(c\) - известные нам расстояния.

В данном случае, расстояния между точками равны 6, 8 и 10. Значит,
\(V = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8 \cdot 10)\).

5. У правильной четырехугольной усеченной пирамиды основаниями являются правильные треугольники. Чтобы найти размеры оснований, воспользуемся формулами для площади правильного треугольника и правильного шестиугольника.

Площадь правильного треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника. Так как у нас два треугольника с данными сторонами, площадь каждого будет \(\frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны.

Площадь правильного шестиугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{{3 \sqrt{3}}}{2} \cdot a^2\), где \(a\) - длина стороны шестиугольника. У нас всего два шестиугольника с данными сторонами, площадь каждого будет \(\frac{{3 \sqrt{3}}}{2} \cdot a^2\), где \(a\) - длина стороны.

Теперь можем записать уравнение площадей:
\(2 \cdot \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} + 2 \cdot \frac{{3 \sqrt{3}}}{2} \cdot b^2 = 4 \cdot 43\).

Из этого уравнения можно найти значения сторон \(a\) и \(b\). После этого, мы сможем определить размеры оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды.