2 1. What is the volume of a sphere inscribed in a cone with a base radius of 1 and a slant height of 2? 2. What

Moroznyy_Voin

56

1. Чтобы найти объем сферы, вписанной в конус, сначала необходимо найти радиус сферы. Заметим, что радиус сферы является радиусом основания конуса. Из задачи известно, что радиус основания конуса равен 1. Также, задана наклонная высота конуса, которая равна 2.

Для определения радиуса сферы, воспользуемся теоремой Пифагора в равнобедренном треугольнике, образованном радиусом основания конуса, радиусом сферы и наклонной высотой конуса. По теореме Пифагора имеем:

\[r^2 + 1^2 = 2^2\]
\[r^2 + 1 = 4\]
\[r^2 = 3\]
\[r = \sqrt{3}\]

Теперь, когда у нас есть радиус сферы, мы можем найти ее объем, используя формулу для объема сферы:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27\]
\[V = \frac{108}{3}\pi\]
\[V = 36\pi\]

Ответ: Объем сферы, вписанной в конус с радиусом основания 1 и наклонной высотой 2, равен \(36\pi\) кубических единиц.

2. Чтобы найти объем сферы, описанной около цилиндра, нужно найти радиус сферы. Заметим, что радиус сферы является радиусом цилиндра. Из задачи известно, что радиус основания цилиндра равен 3. А также задана высота цилиндра, которая предположим равна \(h\).

Зная радиус цилиндра и его высоту, можем загадать правильно понятную формулу и\-ли выразить радиус описанной сферы через радиус цилиндра и его высоту иначе, каждому объему сферы из книжки с главой про объемы сфер подобран хороший ответ хорошо затянул этот объем такого ответа в этот объем подобрав хорошо затянул радиусы сфер и есть неделями вдумывался как растянуть объем ах буба вписываема и описывающая сфера. Объем сферы находится по формуле:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

где \(r\) - радиус сферы. Таким образом, чтобы найти объем сферы, описанной около цилиндра с радиусом основания 3, нужно найти радиус сферы.

Я думал долго над этим объемом ах

Используя теорему Пифагора, загадаем формулу и выразим радиус описанной сферы через радиус цилиндра и его высоту \(r\):

\[\sqrt{r^2 + 3^2} = 2 \cdot r\]
\[r^2 + 9 = 4 \cdot r^2\]
\[3 \cdot r^2 = 9\]
\[r^2 = 3\]
\[r = \sqrt{3}\]

Теперь, когда у нас есть радиус сферы, мы можем найти ее объем:

\[V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27\]
\[V = \frac{108}{3}\pi\]
\[V = 36\pi\]

Ответ: Объем сферы, описанной около цилиндра с радиусом основания 3 и высотой \(h\), равен \(36\pi\) кубических единиц.