Яку сторону прямокутника потрібно знайти, якщо відомо, що вона дорівнює 15 см і утворює з діагоналлю кут 30 градусів?

Magiya_Reki

14

Щоб знайти сторону прямокутника, який утворює кут 30 градусів з діагоналлю, нам знадобиться використати трикутник, утворений стороною прямокутника, діагоналлю та прямим кутом, який утворюють сторона та діагональ.

Спочатку нам потрібно розібратися зі знайомим нам трикутником з прямим кутом. Відомо, що прямий кут дорівнює 90 градусів. Далі, задано, що кут між стороною прямокутника і діагоналлю становить 30 градусів. Оскільки сума кутів в трикутнику становить 180 градусів, ми можемо знайти третій кут трикутника, використовуючи формулу:

\[90^\circ + 30^\circ + x = 180^\circ\]

де \(x\) - шуканий третій кут трикутника.

Розв"язавши це рівняння, ми знаходимо:

\[x = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]

Отже, утворений нами трикутник є прямокутним з кутами 90 градусів, 30 градусів та 60 градусів.

Тепер, ми можемо використати тригонометрію для знаходження сторони прямокутника. Оскільки нам відома діагональ трикутника (15 см), ми можемо скористатися тригонометрією прямокутного трикутника для знаходження сторони прямокутника.

В трикутнику, де один з кутів дорівнює 30 градусам, ми можемо використати відношення між сторонами трикутника та протилежними кутами (тангенс):

\[\tan(30^\circ) = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{прилегла сторона}}\]

У нашому випадку, діагональ становить протилежну сторону, а шукана сторона - прилеглу сторону. Позначимо сторону прямокутника як \(a\). Тоді ми отримаємо:

\[\tan(30^\circ) = \frac{15 \, \text{см}}{a}\]

Щоб знайти \(a\), ми можемо перетворити це рівняння:

\[a = \frac{15 \, \text{см}}{\tan(30^\circ)}\]

Тепер, використовуючи тригонометричну функцію тангенса, ми можемо визначити значення сторони \(a\):

\[a = \frac{15 \, \text{см}}{\sqrt{3}/3} = \frac{45 \, \text{см}}{\sqrt{3}} \approx 25.98 \, \text{см}\]

Отже, сторона прямокутника, яку ми шукаємо, дорівнює приблизно 25.98 см.